ナイマルクの定理

ナイマルクの定理は、測定に関する基本的な事実です。 この定理は、すべての一般測定がチャネルのシュティネスプリング表現を想起させる単純な方法で実装できることを述べています：

1. 測定対象のシステムを、まず初期化されたワークスペースシステムと組み合わせて、複合システムを形成します。
2. 次に、その複合システムに対してユニタリ操作を行います。
3. 最後に、ワークスペースシステムを標準基底測定で測定し、元の一般測定の結果を得ます。

定理の主張と証明

$\mathsf{X}$ をシステムとし、$\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ を次の条件を満たす半正定値行列の集合とします：

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

つまり、これらは $\mathsf{X}$ の測定を記述します。 また、$\mathsf{Y}$ を古典状態集合が $\{0,\ldots,m-1\}$（この測定の可能な結果の集合）であるシステムとします。

ナイマルクの定理は、複合システム $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ 上のユニタリ操作 $U$ が存在し、次の図が示す実装によって得られる測定結果が与えられた測定 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ と一致する（すなわち、各測定結果の確率が完全に一致する）ことを主張します。

明確にしておくと、システム $\mathsf{X}$ はある任意の状態 $\rho$ から始まり、$\mathsf{Y}$ は $\vert 0\rangle$ 状態に初期化されます。 ユニタリ操作 $U$ が $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ に適用され、その後システム $\mathsf{Y}$ が標準基底測定によって測定され、ある結果 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ が得られます。

システム $\mathsf{X}$ は回路の出力の一部として描かれていますが、ここでは $U$ 実行後の $\mathsf{X}$ の状態については考えず、トレースアウトされると想定しても構いません。 ただし、このレッスンの後半では $U$ 実行後の $\mathsf{X}$ の状態に興味を持つことになります。

このような方法で測定を実装することは、チャネルのシュティネスプリング表現を明らかに想起させ、数学的な基盤も似ています。 ここでの違いは、シュティネスプリング表現のようにワークスペースシステムをトレースアウトするのではなく、測定することです。

すべての測定がこの方法で実装できるという事実は、比較的簡単に証明できますが、まず半正定値行列に関する一つの事実が必要です。

事実

$P$ を $n \times n$ の半正定値行列とします。$Q^2 = P$ を満たす一意の $n\times n$ 半正定値行列 $Q$ が存在します。この一意な半正定値行列を $P$ の平方根と呼び、$\sqrt{P}$ と表します。

半正定値行列の平方根を求める一つの方法は、まずスペクトル分解を計算することです。

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

$P$ は半正定値なので、その固有値は非負の実数でなければなりません。固有値をそれぞれの平方根で置き換えることで、$P$ の平方根の表現が得られます。

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

この概念を踏まえて、ナイマルクの定理を証明する準備が整いました。 $\mathsf{X}$ が $n$ 個の古典状態を持つと仮定すると、ペア $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ 上のユニタリ操作 $U$ は $nm\times nm$ 行列で表現でき、各ブロックが $n\times n$ の $m\times m$ ブロック行列として見ることができます。 証明の鍵は、$U$ として次のパターンに一致する任意のユニタリ行列を取ることです。

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

$U$ がユニタリになるようにクエスチョンマークのブロックを埋められるための必要十分条件は、ブロック $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}}$ から形成される最初の $n$ 列が正規直交であることです。 前のレッスンで学んだように、グラム・シュミットの直交化過程を使って残りの列を埋めることができます。

$U$ の最初の $n$ 列は次のようにベクトルとして表現できます（$c = 0,\ldots,n-1$ は $0$ から始まる列番号を表します）。

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

これらの任意の2つの列の内積を次のように計算できます。

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

これにより、これらの列が実際に正規直交であることが示されます。したがって、行列全体がユニタリであることを保証する方法で $U$ の残りの列を埋めることができます。

次に、シミュレーションの測定結果確率が元の測定と一致することを確認します。 $\mathsf{X}$ の初期状態 $\rho$ に対して、集合 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ で記述される測定では、各結果 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ が確率 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ で得られます。

シミュレーションの結果確率を求めるために、$U$ が実行された後の $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ の状態を $\sigma$ と呼ぶことにします。 この状態は次のように表現できます。

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

等価的に、ブロック行列形式では次の等式が成り立ちます。

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

クエスチョンマークのブロックに入る $U$ の要素は結果に影響しないことに注意してください。これは、$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ の形の行列と共役をとる際に、クエスチョンマークの要素が $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ のゼロ要素と常に掛け合わされるためです。

それでは、$\mathsf{Y}$ に対して標準基底測定を行ったときに何が起きるかを分析しましょう。 可能な結果の確率は、$\mathsf{Y}$ の縮約状態 $\sigma_{\mathsf{Y}}$ の対角要素で与えられます。

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

特に、トレースの巡回性を使うと、ある結果 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ を得る確率は次のようになります。

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

これは元の測定と一致しており、シミュレーションの正確性が確立されました。

非破壊測定

このレッスンのここまでは、破壊的測定を扱ってきました。破壊的測定では、出力は古典的な測定結果のみであり、測定されたシステムの測定後の量子状態の仕様はありません。

一方、非破壊的測定はまさにこれを行います。 具体的には、非破壊的測定は古典的な測定結果の確率だけでなく、各測定結果を条件とした測定されたシステムの状態も記述します。 非破壊的という用語は測定されるシステムを指すのであり、必ずしもその状態を指すわけではないことに注意してください。測定の結果として状態は大きく変化する可能性があります。

一般に、ある破壊的測定に対して、その破壊的測定と互換性のある（古典的な測定結果の確率が破壊的測定と完全に一致する）非破壊的測定は複数（実際には無限に）存在します。 したがって、ある測定に対してシステムの測定後の量子状態を定義する一意の方法はありません。

実際、非破壊的測定をさらに一般化することも可能で、入力システムと必ずしも同じでないシステムの量子状態出力とともに古典的な測定結果を生成するようにすることができます。

非破壊的測定の概念は興味深く有用な抽象化です。 ただし、非破壊的測定は常にチャネルと破壊的測定の合成として記述できることを認識しておく必要があります。そのため、ある意味で破壊的測定の概念の方がより基本的なものです。

ナイマルクの定理から

ナイマルクの定理で示したような一般測定のシミュレーションを考えてみましょう。 このシミュレーションから非破壊的測定を得る簡単な方法は、先ほどの図に示されています。システム $\mathsf{X}$ がトレースアウトされず、出力の一部となる場合です。 これにより、古典的な測定結果 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ と $\mathsf{X}$ の測定後の量子状態の両方が得られます。

これらの状態を数学的に記述しましょう。 $\mathsf{X}$ の初期状態が $\rho$ であると仮定します。初期化されたシステム $\mathsf{Y}$ が導入され、$U$ が適用された後、$(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ は次の状態になります：

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

異なる古典的結果が現れる確率は以前と同じです。$\mathsf{X}$ を無視するかどうかを決めても確率は変わりません。 すなわち、各 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ が確率 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ で得られます。

特定の測定結果 $a$ が得られたことを条件とした $\mathsf{X}$ の結果状態は次の式で与えられます。

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

これを確認する一つの方法は、$\mathsf{Y}$ の標準基底測定を完全脱位相チャネル $\Delta_m$ で表すことです。チャネルの出力は（対角）密度行列として古典的な測定結果を記述します。 得られる状態の表現は次のとおりです。

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

この状態を積状態の凸結合として書くと、

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

となり、これは各測定結果を条件とした $\mathsf{X}$ の状態の表現と一致します。

クラウス表現から

ナイマルクの定理の文脈で $U$ を別の選択をすると、同じ測定結果確率を与えるが $\mathsf{X}$ の出力状態が完全に異なる場合があります。

例えば、一つの選択肢として $U$ を $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ で置き換えることができます。ここで $V$ は $\mathsf{X}$ 上の任意のユニタリ操作です。 $\mathsf{X}$ への $V$ の適用は $\mathsf{Y}$ の測定と可換であるため、古典的な結果確率は変わりませんが、結果 $a$ を条件とした $\mathsf{X}$ の状態は次のようになります：

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

さらに一般的には、$\mathsf{X}$ 上の任意のユニタリ操作 $V_0,\ldots,V_{m-1}$ の選択に対して、$U$ をユニタリ行列

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

で置き換えることができます。 やはり古典的な結果確率は変わりませんが、結果 $a$ を条件とした $\mathsf{X}$ の状態は次のようになります：

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

この自由度を表現する等価な方法は、クラウス表現と関連しています。 すなわち、$n$ 個の古典状態を持つシステムの $m$ 結果非破壊測定を、クラウス行列の典型的な条件を満たす $n\times n$ クラウス行列 $A_0,\ldots,A_{m-1}$ の選択によって記述できます。

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

$\mathsf{X}$ の初期状態が $\rho$ であると仮定すると、古典的な測定結果は確率

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

で $a$ となり、結果が $a$ であることを条件とした $\mathsf{X}$ の状態は次のようになります：

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

これはナイマルクの定理において、ユニタリ操作 $U$ を次のように選ぶことと等価であることに注意してください。

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

前のレッスンで、条件 $(1)$ によって、ブロック $A_0,\ldots,A_{m-1}$ から形成される列が必然的に直交することを確認しました。

一般化

非破壊的測定を定式化する方法は、ここで述べた方法よりさらに一般的なものがあります。 量子計測器（ここでは詳述しません）の概念は、その一つの方法を表しています。