はじめに

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「量子情報の基礎」コースでは、量子状態を量子状態ベクトルで表し、操作をユニタリ行列で表すといった、量子情報のフレームワークについて説明しました。 そのフレームワークを「量子アルゴリズムの基礎」コースで活用し、量子アルゴリズムの記述と解析を行いました。

量子情報の数学的な記述方法は実際には二つあり、「量子情報の基礎」で紹介した方法がそのうち簡単な方です。そのため、こちらを量子情報の簡略定式化と呼ぶことにします。

このレッスンでは、もう一方の記述方法である量子情報の一般定式化の探求を始めます。 一般定式化は当然ながら簡略定式化と整合していますが、注目すべき利点があります。 たとえば、量子状態の不確かさを記述したり、量子計算に対するノイズの影響をモデル化したりするために使用できます。 また、量子情報理論、量子暗号、および量子情報に関連するその他のトピックの基礎を提供しており、数学的な観点からも非常に美しい定式化です。

量子情報の一般定式化では、量子状態は簡略定式化のようにベクトルで表されるのではなく、密度行列と呼ばれる特別なクラスの行列で表されます。密度行列を使用する動機となるいくつかの重要な点を以下に示します。

• 密度行列は、量子状態ベクトルよりも広いクラスの量子状態を表現できます。これには、ノイズにさらされた量子システムの状態や、量子状態のランダムな選択など、実際の場面で生じる状態が含まれます。

• 密度行列を使用すると、無視したい別のシステムと量子もつれしているシステムの状態など、システムの一部の孤立した状態を記述できます。これは、量子情報の簡略定式化では容易ではありません。

• 古典（確率的）状態も密度行列で表すことができます。具体的には、対角な行列がこれに対応します。これは、量子情報と古典情報を単一の数学的フレームワーク内でまとめて記述でき、古典情報が本質的に量子情報の特殊なケースとなるため、重要な性質です。

一見すると、量子状態が行列で表されることは奇妙に思えるかもしれません。行列は通常、状態ではなく、作用や操作を表すものだからです。たとえば、量子情報の簡略定式化ではユニタリ行列が量子操作を記述し、古典情報の文脈では確率行列が確率的操作を記述します。 これに対し、密度行列は確かに行列ですが、作用や操作ではなく状態を表します。

それでも、密度行列が（すべての行列と同様に）線形写像と関連付けられるという事実は、密度行列の非常に重要な側面です。 たとえば、密度行列の固有値は、その行列が表す状態に内在するランダム性や不確かさを記述します。

レッスン動画

次の動画では、John Watrous がこのレッスンの密度行列に関する内容を解説します。別ウィンドウでこのレッスンの YouTube 動画を開くこともできます。このレッスンのスライドをダウンロードすることもできます。