量子状態識別とトモグラフィー

レッスンの最後の部分では、測定に関連する2つのタスク、すなわち量子状態識別と量子状態トモグラフィーについて簡単に説明します。

1. 量子状態識別

   量子状態識別では、既知の量子状態の集合 $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ と、それらの状態に関連付けられた確率 $p_0,\ldots,p_{m-1}$ が与えられます。 これを簡潔に表現すると、量子状態のアンサンブル

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   が与えられているということになります。

   数 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ が確率 $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ に従ってランダムに選ばれ、系 $\mathsf{X}$ が状態 $\rho_a$ に準備されます。 目標は、$\mathsf{X}$ のみの測定によって、どの $a$ の値が選ばれたかを判定することです。

   つまり、有限個の選択肢と事前確率（各 $a$ が選ばれる確率に関する事前知識）が与えられており、どの選択肢が実際に起こったかを判定することが目標です。 状態と確率の選び方によっては、これが容易な場合もありますし、誤りを犯す可能性なしには不可能な場合もあります。

2. 量子状態トモグラフィー

   量子状態トモグラフィーでは、系の量子状態が未知です。 つまり、量子状態識別とは異なり、通常は事前確率も選択肢に関する情報もありません。

   しかし今回は、状態の1コピーが利用可能なのではなく、多数の独立したコピーが利用可能です。 すなわち、$N$ 個の同一の系 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ がそれぞれ独立に、ある（大きな可能性のある）数 $N$ に対して状態 $\rho$ に準備されます。 目標は、系を測定することによって、未知状態の密度行列としての近似を求めることです。

2つの状態の識別

量子状態識別で最も単純なケースは、識別すべき2つの状態 $\rho_0$ と $\rho_1$ が存在する場合です。

ビット $a$ がランダムに選ばれる状況を想像してください。$a = 0$ が確率 $p$ で、$a = 1$ が確率 $1 - p$ で選ばれます。 系 $\mathsf{X}$ が状態 $\rho_a$、つまり $a$ の値に応じて $\rho_0$ または $\rho_1$ に準備され、私たちに与えられます。 私たちの目標は、$\mathsf{X}$ の測定によって $a$ の値を正しく推測することです。 具体的には、推測が正しい確率を最大化することを目指します。

最適測定

この問題を解く最適な方法は、$\rho_0$ と $\rho_1$ の加重差の、対応する確率を重みとしたスペクトル分解から始まります。

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

この式にはプラス符号ではなくマイナス符号があることに注意してください。これは加重和ではなく加重差です。

$\{0,\ldots,n-1\}$ の要素を、加重差の対応する固有値が非負か負かに応じて2つの互いに素な集合 $S_0$ と $S_1$ に分けることで、正しい推測の確率を最大化できます。

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

次のようにして射影測定を選択できます。

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

（$\lambda_k = 0$ となる $k$ の値を $S_0$ と $S_1$ のどちらに含めるかは実際には関係ありません。 ここでは、これらの値を $S_0$ に含めることを任意に選んでいます。）

これは、選択された状態の誤判定の確率を最小化する、この状況における最適測定です。

正解確率

次に、測定 $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ の正解確率を求めます。

まず、$\Pi_0$ と $\Pi_1$ の具体的な選択については特に気にする必要はありませんが、念頭に置いておくと役立つかもしれません。 任意の測定 $\{P_0,P_1\}$（射影的でなくてもよい）に対して、正解確率は次のように書けます。

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

$\{P_0,P_1\}$ が測定であること、つまり $P_1 = \mathbb{I} - P_0$ であることを利用して、この式を次のように書き直せます。

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

一方、代わりに $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ と置き換えることもできます。 値は変わりませんが、別の式が得られます。

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

2つの式は同じ値を持つため、それらを平均してさらに別の式を導くことができます。 （2つの式を平均するのは、得られる式を簡略化するためのトリックです。）

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

これで、$P_0$ と $P_1$ にそれぞれ射影 $\Pi_0$ と $\Pi_1$（上記で指定した通り）を選ぶことが理にかなっている理由が分かります。それが最終式のトレースをできるだけ大きくする方法だからです。 特に、

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

したがって、トレースを取ると、固有値の絶対値の和が得られます。これは加重差のトレースノルムとして知られる値と等しくなります。

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

したがって、測定 $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ が、それぞれ確率 $p$ と $1-p$ で与えられた $\rho_0$ と $\rho_1$ を正しく識別する確率は次のようになります。

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

これが、確率 $p$ と $1-p$ でそれぞれ与えられた $\rho_0$ と $\rho_1$ の正確な識別における最適確率であるという事実は、一般にHelstrom–Holevo の定理（または単にHelstrom の定理）と呼ばれます。

3つ以上の状態の識別

3つ以上の状態がある量子状態識別では、最適測定の閉形式解は知られていませんが、問題を半正定値計画として定式化することは可能です。これにより、コンピューターを使った最適測定の効率的な数値近似が可能になります。

また、Holevo-Yuen-Kennedy-Lax 条件として知られる条件を通じて、状態識別タスクにおける特定の測定の最適性を検証（または反証）することも可能です。 特に、アンサンブル

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

で定義される状態識別タスクに対して、測定 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ が最適であるための必要十分条件は、行列

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

がすべての $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ に対して半正定値であることです。

例えば、4つの四面体状態 $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ のうちの1つが一様ランダムに選ばれる量子状態識別タスクを考えます。 四面体測定 $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ は確率

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

で成功します。

これは Holevo-Yuen-Kennedy-Lax 条件によって最適であり、計算によって

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

が $a = 0,1,2,3$ に対して成り立つことが分かります。

量子状態トモグラフィー

最後に、量子状態トモグラフィーの問題について簡単に説明します。 この問題では、未知の量子状態 $\rho$ の独立なコピーが大量に $N$ 個与えられ、目標は $\rho$ の近似 $\tilde{\rho}$ を再構成することです。 明確にすると、$\rho$ にできるだけ近い密度行列 $\tilde{\rho}$ の古典的な記述を求めることを意味します。

設定を別の方法で説明することもできます。 未知の密度行列 $\rho$ が選ばれ、それぞれが独立に状態 $\rho$ に準備された $N$ 個の量子系 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ へのアクセスが与えられます。 したがって、複合系 $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ の状態は

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ 回)}$$

となります。

目標は、系 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ に対して測定を行い、それらの測定結果に基づいて $\rho$ を良く近似する密度行列 $\tilde{\rho}$ を計算することです。 これは非常に興味深い問題であり、現在も研究が続けられています。

問題への取り組みについて、さまざまな種類の戦略が考えられます。 例えば、系 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ をそれぞれ個別に順番に測定し、測定結果の列を生成する戦略を考えることができます。 どの測定を行うかについて、適応的および非適応的選択を含む、さまざまな具体的な選択が可能です。 言い換えると、特定の系に対してどの測定を行うかは、事前の測定結果に依存する場合としない場合があります。 測定結果の列に基づいて、状態 $\rho$ に対する推測 $\tilde{\rho}$ が導出されます。ここでも、これを行うためのさまざまな方法論があります。

別のアプローチは、コレクション全体の単一の合同測定を行うことです。$(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ を単一の系として考え、出力が状態 $\rho$ に対する推測 $\tilde{\rho}$ となる単一の測定を選択します。 これにより、個別の系を別々に測定する場合よりも改善された推定が得られる可能性がありますが、すべての系の合同測定は実装がはるかに困難である可能性があります。

パウリ測定を用いた量子ビットトモグラフィー

次に、$\rho$ が量子ビット密度行列である単純なケースでの量子状態トモグラフィーを考えます。 それぞれが独立に状態 $\rho$ にある量子ビット $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ が与えられており、$\rho$ に近い近似 $\tilde{\rho}$ を計算することが目標です。

私たちの戦略は、$N$ 個の量子ビット $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ を、3つのパウリ行列 $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ $\sigma_z$ のそれぞれに対応するほぼ等しいサイズの3つのコレクションに分けることです。 各量子ビットは次のように独立に測定されます。

1. $\sigma_x$ に関連するコレクション内の各量子ビットに対して $\sigma_x$ 測定を行います。これは、$\sigma_x$ の固有ベクトルの正規直交基底である $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\}$ に関して量子ビットを測定することを意味し、対応する測定結果は2つの固有ベクトルに関連する固有値です。$\vert + \rangle$ 状態に対して $+1$、$\vert -\rangle$ 状態に対して $-1$ です。$\sigma_x$ に関連するコレクション内のすべての状態の結果を平均することで、期待値の近似が得られます。

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. $\sigma_y$ に関連するコレクション内の各量子ビットに対して $\sigma_y$ 測定を行います。このような測定は $\sigma_x$ 測定に似ていますが、測定基底が $\sigma_y$ の固有ベクトル $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\}$ である点が異なります。$\sigma_y$ に関連するコレクション内のすべての状態の結果を平均することで、期待値の近似が得られます。

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. $\sigma_z$ に関連するコレクション内の各量子ビットに対して $\sigma_z$ 測定を行います。今回の測定基底は、$\sigma_z$ の固有ベクトルである標準基底 $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\}$ です。$\sigma_z$ に関連するコレクション内のすべての状態の結果を平均することで、期待値の近似が得られます。

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

各コレクションの測定結果を平均することで近似値

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

が得られたら、$\rho$ を次のように近似できます。

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

$N$ が無限大に近づく極限では、この近似は大数の法則によって確率的に真の密度行列 $\rho$ に収束し、よく知られた統計的限界（Hoeffding の不等式など）を用いて、近似 $\tilde{\rho}$ が $\rho$ からさまざまな量だけずれる確率を限定することができます。

ただし、重要な認識は、このようにして得られた行列 $\tilde{\rho}$ が密度行列でない可能性があるということです。 特に、トレースは常に $1$ になりますが、半正定値でない可能性があります。 このような近似 $\tilde{\rho}$ を密度行列に「丸める」ための既知の戦略がいくつかあります。 その1つは、スペクトル分解を計算し、負の固有値を $0$ で置き換え、次に（得られた行列をそのトレースで割ることによって）再正規化することです。

四面体測定を用いた量子ビットトモグラフィー

量子ビットトモグラフィーを行う別のオプションは、先ほど説明した四面体測定 $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ を用いてすべての量子ビット $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ を測定することです。 すなわち、

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

ここで

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

各結果は何回か得られ、各 $a\in\{0,1,2,3\}$ に対してそれを $n_a$ と表記します。$n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N$ となります。 これらの数の $N$ に対する比率は、各可能な結果に関連する確率の推定値を提供します。

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

最後に、次の注目すべき公式を使用します。

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

この公式を確立するために、四面体状態の内積の絶対値の2乗に関する次の等式を使用できます。これは直接計算によって確認できます。

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

4つの行列

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

は線形独立なので、$b = 0,1,2,3$ に対して $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ のときに公式が成り立つことを証明するだけで十分です。 特に、

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

したがって

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

$\rho$ の近似が得られます。

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

この近似は常にトレースが1のエルミート行列になりますが、半正定値でない可能性があります。 この場合、パウリ測定を用いた戦略と同様に、近似を密度行列に「丸める」必要があります。