測定の数学的定式化

このレッスンでは、測定の数学的な記述として互いに等価な二つの方法を紹介します。

1. 一般測定は、各測定結果に対応する行列の集まりによって記述できます。これは射影測定の記述を一般化したものです。
2. 一般測定は、出力が常に古典的状態（対角密度行列で表される）となるチャネルとして記述できます。

ここでは、可能な結果が有限個の測定のみを扱います。 無限個の結果を持つ測定も定義できますが、計算や情報処理の文脈では一般的でなく、また適切に形式化するには追加の数学（測度論）が必要になります。

最初は、いわゆる破壊的測定に焦点を当てます。これは、測定の出力が古典的な測定結果のみであり、測定されたシステムの測定後の量子状態を指定しないものです。 直感的には、このような測定は量子システム自体を破壊するか、測定が行われた後すぐにシステムが廃棄されると考えることができます。 レッスンの後半では、古典的な測定結果と測定後の量子状態の両方が存在する非破壊的測定についても考えます。

行列の集まりとしての測定

$\mathsf{X}$ を測定対象のシステムとし、簡単のため $\mathsf{X}$ の古典的状態集合は正の整数 $n$ に対して $\{0,\ldots, n-1\}$ であると仮定します。したがって $\mathsf{X}$ の量子状態を表す密度行列は $n\times n$ 行列になります。 $\mathsf{X}$ の古典的状態を直接参照することはあまりありませんが、$\mathsf{X}$ の古典的状態の数である $n$ を参照するのは便利です。 また、測定の可能な結果は正の整数 $m$ に対して整数 $0,\ldots,m-1$ であると仮定します。

これらの名前は単純化のために使っているだけです。 以下で述べることはすべて、他の有限な古典的状態集合や測定結果の集合に対しても、適宜名前を変えることで直接一般化できます。

射影測定

射影測定とは、恒等行列に和が等しい射影行列の集まりによって記述されるものであることを思い出してください。 記号で表すと、

$$\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$$

は、各 $\Pi_a$ が $n\times n$ の射影行列であり、次の条件を満たす場合に $\mathsf{X}$ の射影測定を記述します。

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

このような測定が量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ で記述される状態にあるシステム $\mathsf{X}$ に対して実行されると、各結果 $a$ は $\|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2$ に等しい確率で得られます。 また、$\mathsf{X}$ の測定後の状態はベクトル $\Pi_a\vert\psi\rangle$ を正規化することで得られますが、ここでは測定後の状態は無視します。

$\mathsf{X}$ の状態が量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ ではなく密度行列 $\rho$ で記述される場合、結果 $a$ を得る確率は $\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$ と表すこともできます。

$\rho = \vert \psi\rangle\langle\psi\vert$ が純粋状態であれば、二つの表現は等しくなります。

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi\rangle\langle\psi \vert) = \langle \psi \vert \Pi_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Pi_a \Pi_a \vert \psi \rangle = \|\Pi_a\vert\psi\rangle\|^2.$$

ここで、第二の等号ではトレースの巡回性を利用しており、第三の等号では各 $\Pi_a$ が射影行列であるため $\Pi_a^2 = \Pi_a$ を満たすことを利用しています。

一般に、$\rho$ が純粋状態の凸結合

$$\rho = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k \vert$$

であれば、$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho)$ は $\rho$ について線形であるため、結果 $a$ の平均確率と一致します。

$$\operatorname{Tr}(\Pi_a \rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \operatorname{Tr}(\Pi_a \vert \psi_k\rangle\langle\psi_k\vert) = \sum_{k = 0}^{N-1} p_k \|\Pi_a\vert\psi_k\rangle\|^2$$

一般測定

一般測定の数学的記述は、射影測定の定義を緩和することで得られます。 具体的には、測定を記述する集まりの中の行列を、射影行列ではなく任意の半正定値行列にすることを許します。 （射影行列は常に半正定値です。射影行列は、固有値がすべて 0 または 1 である半正定値行列とも定義できます。）

特に、結果 $0,\ldots,m-1$ を持つシステム $\mathsf{X}$ の一般測定は、$\mathsf{X}$ の古典的状態に対応する行と列を持つ半正定値行列の集まり $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ によって指定されます。これらの行列は次の条件を満たします。

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

システム $\mathsf{X}$ が密度行列 $\rho$ で記述される状態にある時に測定が行われると、各結果 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ は確率 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ で現れます。

当然の要求として、一般測定の結果確率のベクトル

$$\bigl(\operatorname{Tr}(P_0 \rho),\ldots,\operatorname{Tr}(P_{m-1} \rho)\bigr)$$

は、任意の密度行列 $\rho$ の選択に対して、常に確率ベクトルを形成します。 以下の二つの観察がこれを示しています。

1. 任意の二つの半正定値行列の積のトレースは常に非負であるため、各値 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ は非負でなければなりません。

   $$Q, R \geq 0 \; \Rightarrow \: \operatorname{Tr}(QR) \geq 0.$$

   この事実を示す一つの方法は、$Q$ と $R$ のスペクトル分解をトレースの巡回性と組み合わせて、積 $QR$ のトレースを非負実数の和として表現することです。

2. 条件 $P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ とトレースの線形性により、確率の和が $1$ になることが保証されます。

   $$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) = \operatorname{Tr}\Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \rho\Biggr) = \operatorname{Tr}(\mathbb{I}\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

例1：任意の射影測定

射影行列は常に半正定値であるため、すべての射影測定は一般測定の例です。

例えば、量子ビットの標準基底測定は $\{P_0,P_1\}$ で表すことができます。ここで

$$P_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{および}\quad P_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

状態 $\rho$ にある量子ビットを測定すると、結果の確率は次のようになります。

$$\begin{aligned} \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 0) & = \operatorname{Tr}(P_0 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho\bigr) = \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle \\[1mm] \operatorname{Prob}(\text{outcome} = 1) & = \operatorname{Tr}(P_1 \rho) = \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\rho\bigr) = \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

例2：非射影量子ビット測定

$\mathsf{X}$ を量子ビットとし、次のように二つの行列を定義します。

$$P_0 = \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \qquad P_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$$

これらはどちらも半正定値行列です。エルミート行列であり、両方の場合で固有値は $1/2 \pm \sqrt{5}/6$ となり、いずれも正です。 また $P_0 + P_1 = \mathbb{I}$ であるため、$\{P_0,P_1\}$ は測定を記述します。

$\mathsf{X}$ の状態が密度行列 $\rho$ で記述され、この測定を実行すると、結果 $0$ を得る確率は $\operatorname{Tr}(P_0 \rho)$、結果 $1$ を得る確率は $\operatorname{Tr}(P_1 \rho)$ となります。 例えば、$\rho = \vert + \rangle \langle + \vert$ のとき、二つの結果 $0$ と $1$ の確率は次のようになります。

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}(P_0 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{2}{3} & \frac{1}{3}\\[2mm] \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}\\[4mm] \operatorname{Tr}(P_1 \rho) & = \operatorname{Tr}\left( \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\[2mm] -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \right)\\[4mm] & = \biggl(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\biggr) + \biggl(-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\biggr)\\ & = 0 + \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

例3：四面体測定

次のように四つの一量子ビット量子状態ベクトルを定義します。

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert\phi_1\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_2\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1\rangle \\ \vert\phi_3\rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}}\vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1\rangle \end{aligned}$$

これら四つの状態は、ブロッホ球に内接する正四面体の頂点であることから、四面体状態として知られることがあります。

ブロッホ球上でこれら四つの状態のデカルト座標は

$$(0,0,1),\\[2mm] \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} , 0 , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , \sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),\\[1mm] \left( -\frac{\sqrt{2}}{3} , -\sqrt{\frac{2}{3}} , -\frac{1}{3} \right),$$

であり、これらの状態の密度行列表現をパウリ行列の線形結合として表すことで確認できます。

$$\vert \phi_0 \rangle\langle \phi_0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_1 \rangle\langle \phi_1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_2 \rangle\langle \phi_2 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x + \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$ $$\vert \phi_3 \rangle\langle \phi_3 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \\[2mm] -\frac{1}{3\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} - \frac{\sqrt{2}}{3} \sigma_x - \sqrt{\frac{2}{3}} \sigma_y - \frac{1}{3}\sigma_z}{2}$$

これら四つの状態はブロッホ球上で均一に分布しており、互いの距離はすべて等しく、任意の二つの状態間の角度も常に同じです。

次に、各 $a=0,\ldots,3$ に対して $P_a$ を次のように設定することで、量子ビットの測定 $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ を定義します。

$$P_a = \frac{\vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert}{2}$$

これが有効な測定であることは次のように確認できます。

1. 各 $P_a$ は純粋状態を $1/2$ で割ったものであるため、明らかに半正定値です。 つまり、各行列はエルミート行列であり、固有値の一つが $1/2$、その他の固有値がすべてゼロです。
2. これらの行列の和は恒等行列です：$P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = \mathbb{I}$。 パウリ行列の線形結合としてのこれらの行列の表現により、これは直接的に確認できます。

チャネルとしての測定

測定を数学的に記述する第二の方法は、チャネルとして記述することです。

古典情報は量子情報の特殊なケースと見なすことができます。すなわち、確率的状態を対角密度行列と同一視できます。 そのため、操作的な観点から、測定を測定対象のシステムの状態を記述する行列を入力とし、測定結果の分布を記述する対角密度行列を出力とするチャネルとして考えることができます。

このような性質を持つチャネルは、半正定値行列の集まりとしての測定の記述と直接結びつく単純な標準形で書けることをすぐに見ていきます。 逆に、行列の集まりとして与えられた任意の測定に対しては、前の段落で示唆されているように、その測定を記述する対角出力の性質を持つ有効なチャネルが常に存在します。 これらの観察をまとめると、一般測定の二つの記述は等価であることがわかります。

さらに進む前に、測定について、それをチャネルとして見る方法、およびその前提について、より正確に述べましょう。

先ほどと同様に、$\mathsf{X}$ を測定対象のシステム、測定の可能な結果を正の整数 $m$ に対して整数 $0,\ldots,m-1$ とします。 $\mathsf{Y}$ を測定結果を保存するシステムとし、その古典的状態集合は $\{0,\ldots,m-1\}$ であり、測定を $\mathsf{X}$ から $\mathsf{Y}$ へのチャネル $\Phi$ として表します。 前提は、$\mathsf{Y}$ が古典的であること、すなわち $\mathsf{X}$ のどの状態から始めても、$\mathsf{Y}$ の状態は対角密度行列で表されるということです。

$\Phi$ の出力が常に対角であることを数学的に表現するには、次のようにします。 まず、$\mathsf{Y}$ 上の完全脱位相チャネル $\Delta_m$ を定義します。

$$\Delta_m(\sigma) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \sigma \vert a\rangle \,\vert a\rangle\langle a\vert$$

このチャネルは前のレッスンの完全脱位相量子ビットチャネル $\Delta$ に類似しています。 線形写像として、入力行列の対角成分以外のすべての要素をゼロにし、対角成分はそのまま残します。

与えられた密度行列 $\sigma$ が対角であることを表す簡単な方法は、方程式 $\sigma = \Delta_m(\sigma)$ です。 言い換えると、密度行列の対角成分以外のすべての要素をゼロにしても変化しない場合、かつその場合に限り、対角成分以外の要素はもともとすべてゼロだったことになります。 したがって、チャネル $\Phi$ が前提条件（$\mathsf{Y}$ が古典的であること）を満たすのは、

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

が $\mathsf{X}$ の状態を表すすべての密度行列 $\rho$ に対して成り立つ場合、かつその場合に限ります。

定式化の同値性

チャネルから行列へ

$\mathsf{X}$ から $\mathsf{Y}$ へのチャネル $\Phi$ が、すべての密度行列 $\rho$ に対して

$$\Phi(\rho) = \Delta_m(\Phi(\rho))$$

を満たすとします。これは次のように言い換えることもできます。

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle\, \vert a\rangle\langle a \vert \tag{1}$$

すべてのチャネルと同様に、$\Phi$ はあるクラウス行列 $A_0,\ldots,A_{N-1}$ を用いたクラウス形式で表すことができます。

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

これにより、$\Phi(\rho)$ の対角成分に対して別の表現が得られます。

$$\begin{aligned} \langle a \vert \Phi(\rho) \vert a\rangle & = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle a \vert A_k \rho A_k^{\dagger} \vert a\rangle \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} \operatorname{Tr}\bigl( A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \rho\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}\bigl(P_a\rho\bigr) \end{aligned}$$

ここで

$$P_a = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k.$$

したがって、これらの行列 $P_0,\ldots,P_{m-1}$ を用いて、チャネル $\Phi$ は次のように表すことができます。

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a\rangle\langle a\vert$$

この表現は、行列による一般的な測定の記述と一致しています。各測定結果が確率 $\operatorname{Tr}(P_a \rho)$ で現れることが確認できます。

次に、行列の集合 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ が一般的な測定を記述するために必要な2つの性質を実際に満たしていることを確認しましょう。第1の性質は、すべての行列が半正定値行列であることです。これを確認する一つの方法は、$\mathsf{X}$ の古典状態に対応するエントリを持つ任意のベクトル $\vert \psi\rangle$ に対して、

$$\langle \psi \vert P_a \vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \langle \psi \vert A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle = \sum_{k = 0}^{N-1} \bigl\vert\langle a \vert A_k\vert \psi\rangle\bigr\vert^2 \geq 0.$$

が成り立つことを観察することです。第2の性質は、これらの行列の和が単位行列になることです。

$$\begin{aligned} \sum_{a = 0}^{m-1} P_a & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \vert a\rangle\langle a \vert A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert\Biggr) A_k \\ & = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \end{aligned}$$

最後の等式は、$\Phi$ がチャネルであることから、そのクラウス行列がこの条件を満たさなければならないという事実に基づいています。

行列からチャネルへ

次に、$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ を満たす半正定値行列の集合 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ に対して、

$$\Phi(\rho) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho) \vert a \rangle\langle a\vert$$

で定義される写像が、$\mathsf{X}$ から $\mathsf{Y}$ への正当なチャネルであることを確認しましょう。

一つの方法は、この写像のChoi表現を計算することです。

$$\begin{aligned} J(\Phi) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \Phi(\vert b \rangle \langle c \vert)\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle c \vert \otimes \operatorname{Tr}(P_a \vert b \rangle \langle c \vert) \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \sum_{a = 0}^{m-1} \vert b \rangle \langle b \vert P_a^T \vert c \rangle \langle c \vert \otimes \vert a \rangle\langle a\vert\\[1mm] & = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T \otimes \vert a \rangle\langle a\vert \end{aligned}$$

各 $P_a$ の転置が第3の等式で現れるのは、

$$\langle c \vert P_a \vert b\rangle = \langle b \vert P_a^T \vert c\rangle.$$

が成り立つからです。これにより、$\vert b \rangle \langle b \vert$ と $\vert c \rangle \langle c \vert$ という表現が現れ、それぞれ $b$ と $c$ で和を取ることで単位行列に簡約されます。

$P_0,\ldots,P_{m-1}$ が半正定値であるという仮定より、$P_0^{T},\ldots,P_{m-1}^{T}$ も半正定値となります。特に、エルミート行列を転置するともう一つのエルミート行列が得られ、任意の正方行列とその転置の固有値は常に一致します。したがって、$J(\Phi)$ は半正定値になります。出力系 $\mathsf{Y}$（右側の系）についてトレースアウトすると、

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \sum_{a = 0}^{m-1} P_a^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}^T = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

が得られ、$\Phi$ がチャネルであることが結論付けられます。

部分測定

複数の系が合わせて量子状態にある場合に、その一つの系に対して一般的な測定を行うことを考えます。この測定により、測定とその系の事前状態によって決まる確率にしたがってランダムに測定結果の一つが得られます。その後、残りの系の状態は一般に、どの測定結果が得られたかに依存します。

一対の系 $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ において系 $\mathsf{X}$ を測定する場合にこれがどのように機能するかを見ていきましょう。（右側の系を $\mathsf{Z}$ と名付けているのは、チャネルとして見たときの測定の古典的な出力を表す系として $\mathsf{Y}$ を使うためです。）この議論は、系の順序が入れ替わる場合や、3つ以上の系がある場合にも容易に一般化できます。

測定前の $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ の状態が密度行列 $\rho$ で記述されるとします。これは次のように書けます。

$$\rho = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \vert b\rangle\langle c\vert \otimes \rho_{b,c}$$

この式では、$\mathsf{X}$ の古典状態が $0,\ldots,n-1$ であると仮定しています。

測定自体は行列の集合 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ で記述されるとします。この測定は、古典状態の集合 $\{0,\ldots,m-1\}$ を持つ新しい系 $\mathsf{Y}$ を出力とする $\mathsf{X}$ から $\mathsf{Y}$ へのチャネル $\Phi$ としても表すことができます。具体的には、このチャネルの作用は次のように表されます。

$$\Phi(\xi) = \sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \xi)\, \vert a \rangle \langle a \vert$$

結果の確率

系 $\mathsf{X}$ の測定を考えているので、各測定結果が得られる確率は $\mathsf{X}$ の縮約状態 $\rho_{\mathsf{X}}$ にのみ依存します。特に、各結果 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ が現れる確率は、次の3つの同等な形で表すことができます。

$$\operatorname{Tr}\bigl( P_a \rho_{\mathsf{X}}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( P_a \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl( (P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho \bigr)$$

第1の表現は、単一系の測定についてすでに分かっていることから、結果 $a$ が得られる確率を自然に表しています。第2の表現は、$\rho_{\mathsf{X}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Z}}(\rho)$ という定義を使ったものです。

第3の表現を得るにはさらなる考察が必要です。学習者は自分でこれが成り立つことを確かめることをお勧めします。ヒント：第2と第3の表現の同値性は、$\rho$ が密度行列であることや各 $P_a$ が半正定値であることに依存しません。まずテンソル積の形 $\rho = M\otimes N$ について示し、線形性によって一般的な場合に結論付けてみてください。

前の式における第1と第3の表現の同値性はすぐには明らかでないかもしれませんが、直感的に理解できます。$\mathsf{X}$ の測定から出発して、$\mathsf{Z}$ を捨てて $\mathsf{X}$ を測定するという $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ の測定を実質的に定義しています。すべての測定と同様に、この新しい測定も行列の集合で記述でき、この測定が次の集合で記述されることは驚くべきことではありません。

$$\{P_0\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}, \ldots, P_{m-1}\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}\}.$$

測定結果に条件付けられた状態

各結果の確率だけでなく、各測定結果に条件付けられた $\mathsf{Z}$ の結果状態も求めたい場合は、測定のチャネル表現を参照できます。特に、$\Phi$ を $\mathsf{X}$ に適用して $\mathsf{Z}$ には何もしない場合に得られる状態を調べましょう。

$$\begin{aligned} (\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}})(\rho) & = \sum_{b,c = 0}^{n-1} \Phi(\vert b\rangle\langle c\vert) \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \,\vert a\rangle \langle a \vert \otimes \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}(P_a \vert b\rangle\langle c\vert) \rho_{b,c}\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sum_{b,c = 0}^{n-1} \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) (\vert b\rangle\langle c\vert\otimes\rho_{b,c})\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho\bigr) \end{aligned}$$

$\Phi$ がチャネルであることから、これは密度行列であり、各行列 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$ は必然的に半正定値となります。

最後の一ステップで、この式を求めているものを明らかにする形に変換します。

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}$$

これは、「密度行列」のレッスンで見た古典量子状態の例です。

$$\sum_{a = 0}^{m-1} p(a)\, \vert a\rangle\langle a\vert \otimes \sigma_a,$$

各測定結果 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ について、確率

$$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

で $\mathsf{Y}$ が古典状態 $\vert a \rangle \langle a \vert$ にあり、$\mathsf{Z}$ が次の状態にあります。

$$\sigma_a = \frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}{\operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)}. \tag{2}$$

つまり、これは

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$$

をそのトレースで割って正規化することで得られる密度行列です。（形式的には、状態 $\sigma_a$ は確率 $p(a)$ がゼロでない場合にのみ定義されます。$p(a) = 0$ の場合、この状態は確率ゼロで起こる離散的なイベントを指すため、無関係です。）

結果の確率は、これまでの観察と整合していることが自然に分かります。

まとめると、$(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ が状態 $\rho$ にあるときに $\mathsf{X}$ に対して測定 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ を行う場合、次のことが起こります。

1. 各結果 $a$ は確率 $p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$ で現れます。
2. 結果 $a$ が得られた条件のもとで、$\mathsf{Z}$ の状態は式 $(2)$ に示された密度行列 $\sigma_a$ で表されます。これは $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}\bigl((P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Z}}) \rho)$ を正規化して得られます。

一般化

この記述は、系の順序が逆になる場合や3つ以上の系がある場合など、他の状況にも適用できます。概念的には直截ですが、式を書き下すのが煩雑になることがあります。

一般に、$r$ 個の系 $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r$ があり、合成系 $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_r)$ の状態が $\rho$ で、$\mathsf{X}_k$ に対して測定 $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ を行う場合、次のことが起こります。

1. 各結果 $a$ は次の確率で現れます。

   $$p(a) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr).$$

2. 結果 $a$ が得られた条件のもとで、$(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_{k-1},\mathsf{X}_{k+1},\ldots,\mathsf{X}_r)$ の状態は次の密度行列で表されます。

   $$\frac{\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}_k}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}{\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{X}_1}\otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k-1}} \otimes P_a \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}_{k+1}} \otimes \cdots \otimes\mathbb{I}_{\mathsf{X}_r}) \rho\bigr)}$$