複数のシステムと縮約状態

次に、複数のシステムに対して密度行列がどのように機能するかを考えます。ここでは、密度行列が表現できるさまざまな種類の相関の例と、複合システムの孤立した部分の状態を記述するための密度行列の利用方法を扱います。

複数のシステム

密度行列は、量子情報の簡略的な定式化における状態ベクトルと同様の方法で、複数のシステムの状態を表すことができます。複数のシステムは単一の複合システムとして見なせるという基本的な考え方に従います。 数学的には、複数のシステムの状態を表す密度行列の行と列は、各システムの古典的状態集合のデカルト積に対応付けられます。

例として、4つのベル状態の状態ベクトル表現を思い出してみましょう。

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

これらの状態の密度行列表現は次のとおりです。

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

積状態

状態ベクトルの場合と同様に、密度行列のテンソル積は複数のシステムの状態間の独立性を表します。 例えば、$\mathsf{X}$ が密度行列 $\rho$ で表される状態に準備され、$\mathsf{Y}$ が独立に $\sigma$ で表される状態に準備されている場合、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の状態を記述する密度行列はテンソル積 $\rho\otimes\sigma$ となります。

ここでも量子情報の簡略的な定式化と同じ用語が使われます。この形の状態は積状態と呼ばれます。

相関状態とエンタングル状態

積状態として表せない状態は、システム間の相関を表します。 実際、密度行列で表現できる相関にはいくつかの種類があります。 いくつかの例を示します。

1. 古典的な相関状態。 例えば、アリスとボブがランダムビットを共有している状況は次のように表すことができます。

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. 量子状態のアンサンブル。 $m$ 個の密度行列 $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ があり、それらはすべてシステム $\mathsf{X}$ の状態を表しているとします。確率ベクトル $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ に従ってこれらの状態の1つをランダムに選ぶとします。このような過程は状態のアンサンブルで表されます。アンサンブルには密度行列 $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ と確率 $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ の指定が含まれます。$k$ のランダムな選択と対応する密度行列 $\rho_k$ の両方を記述する単一の密度行列を、次のようにアンサンブルと対応付けることができます。

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   明確にするために述べると、これはペア $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ の状態であり、$\mathsf{Y}$ は $k$ の古典的な選択を表します（つまり、その古典的状態集合は $\{0,\ldots,m-1\}$ と仮定されます）。この形の状態は古典量子状態と呼ばれることがあります。

3. 分離可能状態。 次のように、2つのシステムの量子状態間に古典的な相関がある状況を考えることができます。

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   言葉で言うと、$0$ から $m-1$ の各 $k$ について、確率 $p_k$ で左のシステムが状態 $\rho_k$ にあり、右のシステムが状態 $\sigma_k$ にあるということです。このような状態は分離可能状態と呼ばれます。この概念は2つ以上のシステムにも拡張できます。

4. エンタングル状態。 システムのペアの状態がすべて分離可能であるわけではありません。量子情報の一般的な定式化では、エンタングルメントはこのように定義されます。すなわち、分離可能でない状態はエンタングルしているといわれます。

   この用語は、「量子情報の基礎」コースで使用した用語と一致しています。そのコースでは、積状態でない量子状態ベクトルはエンタングル状態を表すと述べました。実際、積状態でない任意の量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ に対して、密度行列 $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ で表される状態は分離可能ではありません。純粋でない状態に対しては、エンタングルメントはこれよりもはるかに複雑になります。

縮約状態と部分トレース

複数のシステムの文脈で密度行列を使って行える、シンプルながら重要な操作があります。それは、いくつかのシステムを無視したときに得られる状態を記述することです。 複数のシステムが量子状態にあり、そのうち1つ以上を破棄または無視することにした場合、残りのシステムの状態はそれらのシステムの縮約状態と呼ばれます。 縮約状態の密度行列による記述は、全体の状態を記述する密度行列からの写像である部分トレースを通じて容易に得られます。

例：eビットの縮約状態

1対の量子ビット $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ が次の状態にあるとします。

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

アリスが量子ビット $\mathsf{A}$ を持ち、ボブが $\mathsf{B}$ を持っている、つまり2人がeビットを共有しているとします。 ボブが自分の量子ビットを持って宇宙に旅立ち、二度と戻らないことにした場合のように、アリスの量子ビット $\mathsf{A}$ を孤立した状態で密度行列により記述したいと思います。

まず、ボブが旅の途中のどこかで、自分の量子ビットを標準基底測定で測定することにした場合に何が起こるかを考えてみましょう。 その場合、彼は次の確率で結果 $0$ を得ます

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

その場合、アリスの量子ビットの状態は $\vert 0\rangle$ になります。また、次の確率で結果 $1$ を得ます

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

その場合、アリスの量子ビットの状態は $\vert 1\rangle$ になります。

したがって、ボブの測定結果を無視してアリスの量子ビットに注目すると、彼女は確率 $1/2$ で状態 $\vert 0\rangle$ を、確率 $1/2$ で状態 $\vert 1\rangle$ を得ると結論できます。 これにより、孤立したアリスの量子ビットの状態を密度行列

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

つまり、アリスの量子ビットは完全混合状態にあります。 明確にしておくと、アリスの量子ビットの状態のこの記述にはボブの測定結果は含まれていません。私たちはボブを完全に無視しています。

さて、今得られたアリスの量子ビット単独の密度行列による記述は、ボブが自分の量子ビットを測定したという仮定に依存しているように見えるかもしれませんが、実際にはそうではありません。 ここで行ったのは、ボブが量子ビットを測定する可能性を利用し、既に学んだことに基づいて、アリスの量子ビットの状態として完全混合状態が現れることを示すという議論です。 もちろん、ボブが自分の量子ビットを測定しなければならないというルールはありません — しかし、彼が測定しないというルールもありません。 そして、もし彼が何光年も離れた場所にいるなら、彼が何をしようとしまいと、単独で見たアリスの量子ビットの状態に影響を与えることは不可能です。 つまり、私たちが得たアリスの量子ビットの状態の記述は、超光速通信が不可能であることと矛盾しない唯一の記述なのです。

ボブの量子ビット $\mathsf{B}$ の状態も考えることができますが、これもまた完全混合状態であることが分かります。 実際、4つのベル状態すべてにおいて、アリスの量子ビットとボブの量子ビットの縮約状態はどちらも完全混合状態であることが分かります。

一般的な量子状態ベクトルの縮約状態

それでは、今議論した例を、必ずしも状態 $\vert \phi^+\rangle$ にある量子ビットとは限らない、2つの任意のシステム $\mathsf{A}$ と $\mathsf{B}$ に一般化しましょう。 $\mathsf{A}$ と $\mathsf{B}$ の古典的状態集合はそれぞれ $\Sigma$ と $\Gamma$ であると仮定します。 したがって、複合システム $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ の状態を表す密度行列 $\rho$ の行と列の添字は、デカルト積 $\Sigma\times\Gamma$ に対応します。

$(\mathsf{A},\mathsf{B})$ の状態が量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ で記述されているとします。したがって、この状態を記述する密度行列は $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ です。 $\mathsf{A}$ 単独の状態を記述する密度行列を得ますが、これは慣習的に $\rho_{\mathsf{A}}$ と表記されます。 (下付き文字の代わりに上付き文字が使われることもあります。)

状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ は次の形で表すことができます。

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

一意に決まるベクトルの集まり $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ について。 特に、これらのベクトルは単純な公式によって決定できます。

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

先ほどのeビットの例と同様に考えると、システム $\mathsf{B}$ を標準基底測定で測定した場合、確率 $\|\vert\phi_b\rangle\|^2$ で各結果 $b\in\Gamma$ を得ることになり、その場合 $\mathsf{A}$ の状態は次のようになります。

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

密度行列として、この状態は次のように書くことができます。

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

それぞれの結果の確率に従ってさまざまな状態を平均すると、次の密度行列が得られます。

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

部分トレース

公式

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

は、純粋状態だけでなく、ペア $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ の任意の密度行列 $\rho$ に対する $\mathsf{A}$ の縮約状態の記述につながります。

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

この公式は、線形性とすべての密度行列が純粋状態の凸結合として書けるという事実から、必ず成り立ちます。

この等式において $\rho$ に対して行われ $\rho_{\mathsf{A}}$ を得る操作は部分トレースとして知られており、より正確には $\mathsf{B}$ に関して部分トレースを行う、または $\mathsf{B}$ をトレースアウトすると言います。 この操作は $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ と表されるので、次のように書くことができます。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

$\mathsf{A}$ に関する部分トレースも定義でき、$\mathsf{B}$ ではなく $\mathsf{A}$ がトレースアウトされます。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

これにより、$\mathsf{A}$ ではなく $\mathsf{B}$ を孤立した状態で記述する密度行列 $\rho_{\mathsf{B}}$ が得られます。

まとめると、$(\mathsf{A},\mathsf{B})$ を任意のシステムのペアとし、$(\mathsf{A},\mathsf{B})$ の状態を記述する密度行列 $\rho$ があるとき、システム $\mathsf{A}$ と $\mathsf{B}$ の縮約状態は次のとおりです。

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

$\rho$ が密度行列であれば、$\rho_{\mathsf{A}}$ と $\rho_{\mathsf{B}}$ も必然的に密度行列となります。

これらの概念は、2つに限らず任意の数のシステムへ自然な形で一般化できます。 一般に、密度行列 $\rho$ の下付き文字に任意のシステムの名前を入れることで、そのシステムだけの縮約状態を記述できます。 例えば、$\mathsf{A}$、$\mathsf{B}$、$\mathsf{C}$ がシステムであり、$\rho$ が $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$ の状態を記述する密度行列であるとき、次のように定義できます。

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

他のシステムの選択についても同様です。

部分トレースの別の記述

部分トレース写像 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ および $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ を記述する別の方法として、これらは次の式を満たす唯一の線形写像であるという見方があります。

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

これらの式において、$N$ と $M$ は適切なサイズの正方行列です。 $M$ の行と列は $\mathsf{A}$ の古典状態に対応し、$N$ の行と列は $\mathsf{B}$ の古典状態に対応します。

この部分トレースの特徴付けは、数学的な観点から根本的に重要なだけでなく、場面によっては素早い計算を可能にします。 例えば、量子ビットの対 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ の次の状態を考えてみましょう。

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

例として縮約状態 $\rho_{\mathsf{A}}$ を計算するには、線形性と $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ および $\vert +\rangle\langle +\vert$ のトレースが 1 であるという事実を利用できます。

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

縮約状態 $\rho_{\mathsf{B}}$ も同様に計算できます。

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

2量子ビットの部分トレース

部分トレースは行列の形で明示的に記述することもできます。 ここでは 2 量子ビットの場合に限って説明しますが、より大きなシステムにも一般化できます。 2 つの量子ビット $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ があるとすると、これら 2 量子ビットの状態を記述する密度行列はすべて次のように書けます。

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

ここで $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}$ は複素数の組です。

第 1 のシステムに関する部分トレースは次の式で表されます。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

この公式を考える1つの方法は、$4\times 4$ 行列を $2\times 2$ ブロック行列とみなすことから始まります。ここで各ブロックは $2\times 2$ です。 つまり、

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

for

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

すると、次のようになります。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

2番目のシステムがトレースアウトされる場合の公式は次の通りです。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

前と似た形のブロック行列を使うと、この公式が得られます。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

これらの関数のブロック行列による記述は、量子ビットより大きなシステムに自然かつ直接的に拡張できます。

最後に、これらの公式を先ほど考えた状態に適用してみましょう。

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

最初のシステム $\mathsf{A}$ の縮約状態は

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

そして2番目のシステム $\mathsf{B}$ の縮約状態は

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$