密度行列の基礎

まず、密度行列とは何かを数学的な観点から説明し、その後いくつかの例を見ていきます。 次に、密度行列の基本的な性質と、量子情報の簡略的な定式化における量子状態ベクトルとの関係について説明します。

定義

量子系を $\mathsf{X}$ と名付けるとします。そして $\Sigma$ をこの系の（有限かつ空でない）古典状態集合とします。 ここでは「量子情報の基礎」コースで使用されている命名規則に倣っており、機会があればこれを引き続き使用します。

量子情報の一般的な定式化において、系 $\mathsf{X}$ の量子状態は密度行列 $\rho$ によって記述されます。この行列の成分は複素数であり、行と列のインデックスは古典状態集合 $\Sigma$ と対応付けられています。 小文字のギリシャ文字 $\rho$ は密度行列の名前として慣習的に最初に選ばれますが、$\sigma$ や $\xi$ も一般的な選択肢です。

以下は、量子ビットの状態を記述する密度行列のいくつかの例です。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

$\rho$ が密度行列であるとは、以下の2つの条件（すぐに説明します）がどちらも満たされていることを意味します。

1. トレースが1：$\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. 半正定値性：$\rho \geq 0.$

行列のトレース

密度行列の第1の条件は、行列のトレースに関するものです。 これはすべての正方行列に対して定義される関数であり、対角成分の和として定義されます。

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

トレースは線形関数です。同じサイズの任意の2つの正方行列 $A$ と $B$、および任意の2つの複素数 $\alpha$ と $\beta$ に対して、以下の等式が常に成り立ちます。

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

トレースは非常に重要な関数であり、さらに多くのことが言えますが、必要が生じたときにあらためて説明します。

半正定値行列

第2の条件は、行列が半正定値であるという性質に関するものです。これは量子情報理論をはじめ多くの分野における基本的な概念です。 行列 $P$ が半正定値であるとは、ある行列 $M$ が存在して

$$P = M^{\dagger} M$$

が成り立つことを意味します。

ここで、$M$ は $P$ と同じサイズの正方行列であることを要求しても、非正方行列を許してもよく、どちらの場合も同じクラスの行列が得られます。

この条件を定義する代替（しかし同等の）方法がいくつかあります。

• 行列 $P$ が半正定値であることは、$P$ がエルミート（すなわち自身の共役転置と等しい）であり、すべての固有値が非負の実数であることと同値です。行列がエルミートであり、すべての固有値が非負であることを確認することは、半正定値性を検証するための簡単な計算方法です。

• 行列 $P$ が半正定値であることは、$P$ の行と列と同じインデックスを持つすべての複素ベクトル $\vert\psi\rangle$ に対して $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ が成り立つことと同値です。

半正定値行列を直感的に理解する方法は、それらが非負の実数の行列版のようなものだと考えることです。 つまり、半正定値行列の複素正方行列に対する関係は、非負の実数の複素数に対する関係と同様です。 例えば、複素数 $\alpha$ が非負の実数であることは

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

をある複素数 $\beta$ に対して満たすことと同値であり、これは行列をスカラーで置き換えたときの半正定値性の定義と一致します。 行列は一般にスカラーよりも複雑なオブジェクトですが、それでもこれは半正定値行列を考えるための助けになる見方です。

これはまた、$P$ が半正定値であることを示す一般的な表記 $P\geq 0$ の説明にもなります。 特に、この文脈では $P\geq 0$ は $P$ の各成分が非負であることを意味しない点に注意してください。 負の成分を持つ半正定値行列も存在しますし、すべての成分が正であるが半正定値ではない行列も存在します。

密度行列の解釈

この時点では、密度行列の定義はやや恣意的で抽象的に見えるかもしれません。これらの行列やその成分にまだ意味を与えていないからです。 密度行列がどのように機能し、どのように解釈できるかは、レッスンが進むにつれて明らかになりますが、今のところ、密度行列の成分について以下の（やや非形式的な）方法で考えると役立つかもしれません。

• 密度行列の対角成分は、標準基底測定を行ったときに各古典状態が現れる確率を与えます。したがって、これらの成分は各古典状態に関連する「重み」や「尤度」を記述していると考えることができます。

• 密度行列の非対角成分は、その成分に対応する2つの古典状態（行に対応するものと列に対応するもの）が量子重ね合わせにある程度と、それらの間の相対位相を表します。

量子状態が密度行列で表現されるべきであることは、先験的には明らかではありません。 実際、量子状態を密度行列で表現するという選択が、量子情報の完全な数学的記述へと自然に導くという意味があります。 量子情報に関する他のすべてのことは、実はこの一つの選択から非常に論理的に導かれます！

量子状態ベクトルとの関係

量子系 $\mathsf{X}$ の量子状態を記述する量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ は、ユークリッドノルムが $1$ に等しく、その成分が古典状態集合 $\Sigma$ と対応付けられている列ベクトルであることを思い出してください。 同じ状態の密度行列表現 $\rho$ は次のように定義されます。

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

明確にしておくと、列ベクトルと行ベクトルの積を計算しているため、結果は行と列が $\Sigma$ に対応する正方行列になります。 この形式の行列は、密度行列であることに加えて、常に射影であり、ランクが $1$ です。

例として、2つの量子ビット状態ベクトルを定義しましょう。

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

これら2つのベクトルに対応する密度行列は次のとおりです。

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

以下の表は、これらの状態といくつかの基本的な例（$\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ $\vert {-}\rangle$）の一覧です。 これら6つの状態はレッスンの後半でも登場します。

状態ベクトル	密度行列
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

もう一つの例として、「量子情報の基礎」コースの単一系レッスンに登場した状態を、状態ベクトルと密度行列の両表現で示します。

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

量子状態ベクトル $\vert \psi \rangle$ に対して $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ の形を取る密度行列は純粋状態と呼ばれます。 すべての密度行列がこの形で書けるわけではありません。純粋でない状態も存在します。

密度行列としての純粋状態は、常に1つの固有値が $1$ に等しく、他のすべての固有値が $0$ に等しいという性質を持ちます。 これは、密度行列の固有値がその状態に内在するランダム性や不確かさを表しているという解釈と一致しています。 本質的に、純粋状態 $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ には不確かさがなく、状態は確実に $\vert \psi \rangle$ です。

一般に、量子状態ベクトルを

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

$n$ 個の古典状態を持つ系に対して表すとき、同じ状態の密度行列表現は次のとおりです。

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

したがって、純粋状態という特別な場合において、密度行列の対角成分が標準基底測定で各可能な古典状態が出力される確率を表していることを確認できます。

純粋状態に関する最後の注意として、密度行列は量子状態ベクトルに存在する全体位相に関する縮退を解消します。 全体位相が異なる2つの量子状態ベクトルがあるとします。 $\vert \psi \rangle$ と $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle$（ある実数 $\theta$ に対して）です。 全体位相だけ異なるため、これらのベクトルは（ベクトルとして異なる可能性があるにもかかわらず）まったく同じ量子状態を表します。 一方、これら2つの状態ベクトルから得られる密度行列は同一です。

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

一般に、密度行列は量子状態の一意な表現を提供します。 2つの量子状態が同一である（つまり、それらに対して実行できるすべての可能な測定に対してまったく同じ結果の統計を生成する）ことは、それらの密度行列表現が等しいことと同値です。 数学的な用語を使えば、密度行列は量子状態の忠実な表現を提供すると表現できます。