ブロッホ球

量子ビットの状態を表す便利な幾何学的手法として、ブロッホ球と呼ばれるものがあります。 これは非常に便利な表現ですが、残念ながら量子ビットにのみ適用できます。古典的な状態が3つ以上になると、類似の表現はもはや球面には対応しなくなります。

球面上の点としての量子ビット状態

まず、量子ビットの量子状態ベクトル $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ について考えてみましょう。 すべての量子ビット状態ベクトルはグローバル位相を除いて $\alpha \geq 0$ となるものと等価であるため、$\alpha$ が非負の実数であるベクトルに注目することができます。 これにより、次のように書くことができます。

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

ここで、$\theta \in [0,\pi]$ および $\phi\in[0,2\pi)$ は2つの実数です。 $\theta$ を $0$ から $\pi$ の範囲とし、サインとコサインの引数を $2$ で割るのは、この種のベクトルをパラメータ化する慣例的な方法であり、後ほど事柄を単純にするためです。

さて、数値 $\theta$ と $\phi$ が与えられた量子状態ベクトル $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ によって一意に決まるわけではありませんが、ほぼそうなっています。 特に、$\beta = 0$ の場合は $\theta = 0$ となり、$\phi$ の値は何でもよく、任意に選択できます。 同様に、$\alpha = 0$ の場合は $\theta = \pi$ となり、今度も $\phi$ は無関係です（いかなる $\phi$ に対しても状態はグローバル位相を除いて $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ と等価であるためです）。 しかし、$\alpha$ も $\beta$ もゼロでない場合、$\vert\psi\rangle$ がグローバル位相を除いて $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ と等価となるような組 $(\theta,\phi)$ の選択は一意に定まります。

次に、この状態の密度行列表現を考えてみましょう。

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

三角関数の恒等式、

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

および公式 $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi)$ を用いて、密度行列を次のように簡略化できます。

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

これにより、この密度行列をパウリ行列の線形結合として簡単に表すことができます。

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

具体的には、次のことが導かれます。

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

この式の分子における $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ $\sigma_z$ の係数はすべて実数であるため、それらをまとめて通常の3次元ユークリッド空間のベクトルを形成できます。

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

実は、これは単位ベクトルです。 球面座標を使うと、$(1,\theta,\phi)$ と書くことができます。 最初の座標 $1$ は半径または動径距離（この場合は常に $1$）を表し、$\theta$ は極角を、$\phi$ は方位角を表します。

言葉で説明すると、球を地球に見立てた場合、極角 $\theta$ は北極から南に向かって記述する点に到達するまでの回転角であり、$0$ から $\pi = 180^{\circ}$ の範囲を取ります。一方、方位角 $\phi$ は本初子午線から東に向かう回転角であり、$0$ から $2\pi = 360^{\circ}$ の範囲を取ります。 ここでは、本初子午線を正の $x$ 軸を通る一方の極から他方の極への球面上の曲線として定義しています。

球面上のすべての点はこのようにして記述できます。つまり、量子ビットのすべての純粋状態にわたって得られる点は、実3次元の球面にちょうど対応しています。 （この球面は、表面が2次元であることから、通常単位$2$球面と呼ばれます。）

単位 $2$ 球面上の点を量子ビットの純粋状態と対応付けると、それらの状態のブロッホ球表現が得られます。

6つの重要な例

1. 標準基底 $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ まず状態 $\vert 0\rangle$ から始めましょう。 密度行列としては次のように書けます。

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   分子のパウリ行列の係数を集めると、デカルト座標における単位 $2$ 球面上の対応する点は $(0,0,1)$ です。 球面座標ではこの点は $(1,0,\phi)$ であり、$\phi$ は任意の角度を取り得ます。 これは次の式と整合しています。

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   これも任意の $\phi$ に対して成り立ちます。 直感的には、極角 $\theta$ がゼロであるため、ブロッホ球の北極にいることになり、そこでは方位角は無関係となります。

   同様に、状態 $\vert 1\rangle$ の密度行列は次のように書けます。

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   今度のデカルト座標は $(0,0,-1)$ です。球面座標ではこの点は $(1,\pi,\phi)$ であり、$\phi$ は任意の角度を取り得ます。この場合、極角は $\pi$ まで達しているため、南極にいることになり、ここでも方位角は無関係となります。

2. 基底 $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ これらの状態に対応する密度行列は次のように表せます。

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   単位 $2$ 球面上の対応する点のデカルト座標はそれぞれ $(1,0,0)$ と $(-1,0,0)$ であり、 球面座標はそれぞれ $(1,\pi/2,0)$ と $(1,\pi/2,\pi)$ です。

   言い換えると、$\vert +\rangle$ は正の $x$ 軸が単位 $2$ 球面と交わる点に対応し、$\vert -\rangle$ は負の $x$ 軸が交わる点に対応します。より直感的には、$\vert +\rangle$ は本初子午線と交わるブロッホ球の赤道上にあり、$\vert - \rangle$ は球の反対側の赤道上にあります。

3. 基底 $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ このレッスンで先ほど見たように、これらの2つの状態は次のように定義されます。

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   今回は次の式が得られます。

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   単位 $2$ 球面上の対応する点のデカルト座標はそれぞれ $(0,1,0)$ と $(0,-1,0)$ であり、 球面座標はそれぞれ $(1,\pi/2,\pi/2)$ と $(1,\pi/2,3\pi/2)$ です。

   言い換えると、$\vert {+i} \rangle$ は正の $y$ 軸が単位 $2$ 球面と交わる点に対応し、$\vert {-i} \rangle$ は負の $y$ 軸が交わる点に対応します。

このシリーズを通じて折々に登場した、もう一つの量子状態ベクトルのクラスがあります。このレッスンでも先ほど登場しました。

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

これらの各状態の密度行列表現は次のとおりです。

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

次の図は、$\alpha$ のいくつかの選択に対するブロッホ球上の対応する点を示しています。

ブロッホ球点の凸結合

密度行列についてすでに論じたのと同様に、ブロッホ球上の点の凸結合を取ることで、量子ビット密度行列の表現を得ることができます。 一般に、これはブロッホ球の内部の点となり、純粋でない状態の密度行列を表します。 量子ビット密度行列の表現としてブロッホ球の内部の点を明示的に含める場合、ブロッホボールと呼ぶことがあります。

例えば、量子ビットの完全混合状態を表す密度行列 $\frac{1}{2}\mathbb{I}$ は、次の2通りの別の方法で書けることを見てきました。

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{and}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

また、次の式も成り立ちます。

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

さらに一般的に、任意の2つの直交する量子ビット状態ベクトル（ブロッホ球上の2つの対蹠点に常に対応します）を用いることができます。 ブロッホ球上の対応する点を同様の方法で平均すると、すべて同じ点が得られます。この場合はそれが球の中心となります。 これは次の観察と整合しています。

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

これによりデカルト座標 $(0,0,0)$ が得られます。

ブロッホ球点の凸結合に関する別の例として、前の小節で論じたものがあります。

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

次の図は、この密度行列を純粋状態の凸結合として得る2つの異なる方法を示しています。