チャネルの表現

次に、チャネルの数学的な表現について説明します。

ベクトルからベクトルへの線形写像は、馴染みのある方法で行列として表現できます。線形写像の作用は行列とベクトルの積で記述されます。 しかし、チャネルはベクトルからベクトルではなく、行列から行列への線形写像です。 では、一般的に、チャネルを数学的にどのように表現すればよいのでしょうか？

一部のチャネルについては、以前に説明した3つの非ユニタリ量子ビットチャネルの例のように、それらを記述するシンプルな数式が存在することがあります。 しかし、任意のチャネルはそのような便利な数式を持つとは限らないため、一般的にチャネルをこの方法で表現することは現実的ではありません。

比較として、量子情報の簡略化された定式化では、量子状態ベクトルへの操作を表現するためにユニタリ行列を使用します。すべてのユニタリ行列は有効な操作を表し、すべての有効な操作はユニタリ行列として表現できます。 本質的に問われているのは次のことです：チャネルに対して同様のことをどうすれば実現できるか？

この問いに答えるために、いくつかの追加的な数学的道具が必要になります。 チャネルは実際にいくつかの異なる方法で数学的に記述できることがわかります。それらは、その発展に重要な役割を果たした3人の名前にちなんだ表現を含みます： Stinespring、 Kraus、 そして Choi。 これらの異なる記述方法はそれぞれ、チャネルを異なる角度から観察・分析するための視点を提供します。

Stinespring表現

Stinespring表現は、すべてのチャネルが標準的な方法で実装できるという考え方に基づいています。 入力系をまず初期化されたワークスペース系と組み合わせて複合系を形成し、 次に複合系に対してユニタリ操作を実行し、 最後にワークスペース系を破棄（トレースアウト）することでチャネルの出力が得られます。

下の図は、入力系と出力系が同じ系 $\mathsf{X}$ であるチャネルについて、回路図の形式でそのような実装を描いたものです。

この図において、ワイヤはラベルで示されるように任意の系を表しており、必ずしも単一の量子ビットを表しているわけではありません。 また、電気工学でよく用いられるグラウンド記号は、$\mathsf{W}$ が破棄されることを明示的に示しています。

この実装の仕組みを言葉で説明すると以下のようになります。 入力系 $\mathsf{X}$ はある状態 $\rho$ から始まり、ワークスペース系 $\mathsf{W}$ は標準基底状態 $\vert 0\rangle$ に初期化されます。 ユニタリ操作 $U$ がペア $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ に対して実行され、最後にワークスペース系 $\mathsf{W}$ がトレースアウトされ、$\mathsf{X}$ が出力として残ります。

$0$ は $\mathsf{W}$ の古典状態であり、この系の初期化状態として選ばれている点に注意してください。これにより数学的な計算が簡略化されます。 ただし、表現の基本的な性質を変えることなく、$\mathsf{W}$ の初期化状態として任意の固定された純粋状態を選ぶことも可能です。

結果として得られるチャネル $\Phi$ の数式は次のとおりです。

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

通常どおり、Qiskitの順序規則を使用しています： 図では系 $\mathsf{X}$ が上側にあるため、数式では右側のテンソル因子に対応します。

一般に、チャネルの入力系と出力系は同じである必要はありません。 次の図は、入力系が $\mathsf{X}$ で出力系が $\mathsf{Y}$ であるチャネル $\Phi$ の実装を描いたものです。

今度は、ユニタリ操作が $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ をペア $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ に変換します。$\mathsf{G}$ はトレースアウトされる新しい「ガベージ」系で、$\mathsf{Y}$ が出力系として残ります。 $U$ がユニタリ行列であるためには正方行列でなければなりません。 これには、ペア $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ がペア $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ と同じ数の古典状態を持つ必要があり、そのため $\mathsf{W}$ と $\mathsf{G}$ はこれを可能にする形で選択される必要があります。

結果として得られるチャネル $\Phi$ の数式は、以前のものと同様です。

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

チャネルがこのような形で、つまりユニタリ操作とワークスペース系の初期化方法および出力系の選択方法の指定として記述される場合、それをStinespring形式またはチャネルのStinespring表現と呼びます。

すべてのチャネルは実際にStinespring表現を持つことがわかりますが、これは自明ではありません。レッスンの終わりまでに確認します。 また、Stinespring表現は一意ではなく、同じチャネルを同様の方法で実装する異なる方法が常に存在することも示します。

注記

量子情報の文脈では、Stinespring表現という用語は一般的に次の形式のチャネルのやや一般的な表現を指します。

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

ここで $A$ は等距写像（列が正規直交だが正方行列である必要はない行列）です。 採用した定義の形式を持つStinespring表現については、次のように取ることでこの別の形式の表現を得ることができます。

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

完全デフェージングチャネル

以下はQubitのデフェージングチャネル $\Delta$ のStinespring表現です。 この図では、両方のワイヤが単一の量子ビットを表しており、通常の量子回路図となっています。

この回路が入力量子ビットに与える効果が完全デフェージングチャネルで記述されることを確認するために、前のレッスンで説明した部分トレースの明示的な行列表現を用いて、回路を1ステップずつ確認します。 上側の量子ビットを $\mathsf{X}$ と呼びます。これがチャネルの入力および出力です。$\mathsf{X}$ は任意の状態 $\rho$ から始まるとします。

最初のステップはワークスペース量子ビット $\mathsf{W}$ の導入です。 制御NOT（CNOT）ゲートが実行される前、ペア $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ の状態は次の密度行列で表されます。

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Qiskitの順序規則に従い、上側の量子ビット $\mathsf{X}$ が右側、下側の量子ビット $\mathsf{W}$ が左側に対応します。 量子状態ベクトルではなく密度行列を使用していますが、量子情報の簡略化された定式化で行われる方法と同様にテンソル積が取られます。

次のステップは制御NOT操作を実行することです。$\mathsf{X}$ が制御、$\mathsf{W}$ がターゲットです。 Qiskitの順序規則を念頭に置くと、このゲートの行列表現は次のようになります。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

これはユニタリ操作であり、密度行列に適用するにはユニタリ行列で共役を取ります。 共役転置はこの特定の行列を変えないため、結果は次のとおりです。

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

最後に、$\mathsf{W}$ に対して部分トレースを実行します。 前のレッスンで説明した $4\times 4$ 行列に対するこの操作の作用を思い出すと、次の密度行列の出力が得られます。

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

または、先にDirac記法に変換してから部分トレースを計算することもできます。

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

左側の量子ビットをトレースアウトすると、先ほどと同じ答えが得られます。

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

この回路を直感的に理解する方法として、制御NOT操作が入力量子ビットの古典状態を効果的にコピーし、コピーが廃棄されると入力量子ビットが2つの可能な古典状態のどちらかに確率的に「崩壊」する、という考え方があります。これは完全デフェージングと等価です。

完全デフェージングチャネル（代替表現）

上述の回路は、完全デフェージングチャネルを実装する唯一の方法ではありません。 以下に別の方法を示します。

この実装が正しく動作することを示す簡単な解析を以下に示します。 Hadamardゲートの実行後、2量子ビットの状態は密度行列として次のようになります：

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

制御-$\sigma_z$ ゲートは共役として次のように作用します。

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

最後にワークスペース系 $\mathsf{W}$ をトレースアウトします。

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

この実装は単純なアイデアに基づいています： デフェージングは、何もしないこと（つまり恒等操作を適用すること）と $\sigma_z$ ゲートを適用することを、それぞれ確率 $1/2$ で行うことと等価です。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

つまり、完全デフェージングチャネルは混合ユニタリチャネルの一例であり、より具体的にはPauliチャネルの一例です。

Qubitリセットチャネル

Qubitリセットチャネルは、次のように実装できます。

SWAPゲートは、ワークスペースQubitの $\vert 0\rangle$ に初期化された状態を出力側にシフトし、入力状態 $\rho$ を下側のQubitに移動させてトレースアウトします。

または、チャネルの出力を上側に残すことを要求しない場合は、この非常にシンプルな回路を表現として用いることができます。

言葉で言えば、Qubitを $\vert 0\rangle$ 状態にリセットすることは、そのQubitを捨てて新しいものを得ることと同等です。

Kraus表現

次に、Kraus表現について説明します。これは、行列の乗算と加算によってチャネルの作用を表現する、便利な定式化の方法です。 特に、Kraus表現とは、チャネル $\Phi$ を次の形式で指定することです。

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

ここで、$A_0,\ldots,A_{N-1}$ はすべて同じ次元を持つ行列です。 列は入力システム $\mathsf{X}$ の古典状態に対応し、行は出力システム（$\mathsf{X}$ または他のシステム $\mathsf{Y}$）の古典状態に対応します。 $\Phi$ が有効なチャネルであるためには、これらの行列が以下の条件を満たす必要があります。

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

この条件は、$\Phi$ がトレースを保存するという条件と同値です。 チャネルに要求されるもう一つの性質である完全正値性は、$\Phi$ の式の一般的な形（共役の和）から導かれます。

$A_0,\ldots,A_{N-1}$ という行列の名付け方を変えると便利なこともあります。 例えば、$1$ から番号を付けたり、添字として数字ではなく任意の古典状態集合 $\Gamma$ の状態を使ったりすることができます。

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{where} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Kraus行列と呼ばれるこれらの行列のさまざまな名付け方はいずれも一般的であり、状況に応じて便利です。ただし、このレッスンではシンプルさのために $A_0,\ldots,A_{N-1}$ という名称を使い続けます。

数 $N$ は任意の正の整数にできますが、あまり大きくする必要はありません。 入力システム $\mathsf{X}$ が $n$ 個の古典状態を持ち、出力システム $\mathsf{Y}$ が $m$ 個の古典状態を持つ場合、$\mathsf{X}$ から $\mathsf{Y}$ への任意のチャネルは常に $N$ が積 $nm$ 以下のKraus表現を持ちます。

完全デフェーズチャネル

$A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$、$A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert$ と取ることで、完全デフェーズチャネルのKraus表現が得られます。

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

これらの行列は必要な条件を満たしています。

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

あるいは、$A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$、$A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z$ と取ることで、

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

となり、これは以前に計算したものと一致します。この場合、必要な条件は次のように検証できます。

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Qubitリセットチャネル

$A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$、$A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert$ と取ることで、Qubitリセットチャネルのクラウス表現が得られます。

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

これらの行列は必要な条件を満たしています。

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

完全デポラライゼーションチャネル

完全デポラライゼーションチャネルのKraus表現を得る一つの方法は、Kraus行列 $A_0,\ldots,A_3$ を次のように選ぶことです。

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

任意のQubit密度行列 $\rho$ に対して、次が成り立ちます。

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

別のKraus表現は、次のようにKraus行列を選ぶことで得られます。

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

これらのKraus行列が実際に完全デポラライゼーションチャネルを表していることを確認するために、まず任意の $2\times 2$ 行列をパウリ行列で共役操作した結果を観察してみましょう。

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

これにより、Kraus表現の正しさを次のように検証できます。

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

このKraus表現は重要なアイデアを表しています。それは、4つのパウリ行列（恒等行列を含む）の中から一様ランダムに選んでQubitに適用することで、Qubitの状態を完全にランダム化できるということです。 したがって、完全デポラライゼーションチャネルはパウリチャネルのもう一つの例です。

完全デポラライゼーションチャネル $\Omega$ について、Kraus行列が3つ以下のKraus表現を見つけることはできません。このチャネルには少なくとも4つのKraus行列が必要です。

ユニタリチャネル

システム $\mathsf{X}$ 上の操作を表すユニタリ行列 $U$ がある場合、このユニタリ操作の作用をチャネルとして表現できます。

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

この式はすでに、Kraus行列が $A_0 = U$ の1つだけのチャネル $\Phi$ の有効なKraus表現です。この場合、必要な条件

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

は、はるかにシンプルな形 $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ になります。これは $U$ がユニタリであるため真です。

Choi表現

次に、チャネルを記述する3つ目の方法である Choi表現 について説明します。 各チャネルは Choi行列 と呼ばれる1つの行列で表されます。 入力システムが $n$ 個の古典状態を持ち、出力システムが $m$ 個の古典状態を持つ場合、チャネルのChoi行列は $nm$ 行 $nm$ 列になります。

Choi行列はチャネルの忠実な表現を提供します。つまり、2つのチャネルが同じであるのは、それらが同じChoi行列を持つ場合かつその場合に限ります。 これが重要な理由の一つは、2つの異なる記述が同じチャネルに対応するか、異なるチャネルに対応するかを判断する方法が得られることです。Choi行列を計算して等しいかどうかを比較するだけで済みます。 一方、StinespringおよびKraus表現は、これまで見てきたように、このような意味での一意性を持ちません。

Choi行列は、チャネルのさまざまな数学的性質を明らかにするうえでも有用です。

定義

$\Phi$ をシステム $\mathsf{X}$ からシステム $\mathsf{Y}$ へのチャネルとし、入力システム $\mathsf{X}$ の古典状態集合を $\Sigma$ とします。 $\Phi$ のChoi表現は $J(\Phi)$ と表記され、次の式で定義されます。

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

$\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ とある正の整数 $n$ に対して成立すると仮定する場合、$J(\Phi)$ はブロック行列として次のように表すこともできます。

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

すなわち、ブロック行列として見ると、チャネルのChoi行列は、入力システムの古典状態の各ペア $(a,b)$ に対して1つのブロック $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ を持ち、それらが自然な形で配置されています。

集合 $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ は、すべての $n\times n$ 行列の空間の基底をなすことに注目してください。 $\Phi$ が線形であることから、その作用はブロックの線形結合を取ることでChoi行列から復元できます。

チャネルのChoi状態

チャネルのChoi行列について別の見方をすると、$n = \vert\Sigma\vert$ で割れば密度行列になります。 簡単のために $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ の場合に絞り、$\mathsf{X}$ の同一の2つのコピーがエンタングル状態

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle$$

にある状況を考えてみましょう。

密度行列として表すと、この状態は次のようになります。

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

右側の $\mathsf{X}$ のコピーに $\Phi$ を適用すると、Choi行列を $n$ で割ったものが得られます。

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

言葉で言えば、正規化因子 $1/n$ を除いて、$\Phi$ のChoi行列は、次の図が示すように、入力システムの最大エンタングルペアの片方に $\Phi$ を評価することで得られる密度行列です。

特に、これはチャネルのChoi行列が常に半正定値でなければならないことを意味しています。

また、チャネル $\Phi$ は右側/上側のシステムのみに適用されるため、左側/下側のシステムの縮約状態に影響を与えることはできません。 この場合、その状態は完全混合状態 $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n$ であるため、

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}$$

が成り立ちます。

両辺から分母 $n$ を消去すると、$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$ が得られます。

同じ結論は、チャネルが常にトレースを保存しなければならないという事実を使っても導けます。したがって、

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

まとめると、任意のチャネル $\Phi$ のChoi表現 $J(\Phi)$ は半正定値でなければならず、かつ

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

を満たさなければなりません。

レッスンの終わりに見るように、これら2つの条件は必要条件であるだけでなく十分条件でもあります。つまり、これらの要件を満たす行列から行列への任意の線形写像 $\Phi$ は、実際にチャネルでなければなりません。

完全デフェージングチャネル

完全デフェージングチャネル $\Delta$ のChoi表現は次のようになります。

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

完全デポラライジングチャネル

完全デポラライジングチャネルのChoi表現は次のようになります。

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Qubitリセットチャネル

Qubitリセットチャネル $\Phi$ のChoi表現は次のようになります。

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

恒等チャネル

Qubit恒等チャネル $\operatorname{Id}$ のChoi表現は次のようになります。

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

特に、$J(\operatorname{Id})$ は単位行列ではないことに注意してください。 Choi表現は、行列が線形写像を表す通常の方法のように、チャネルの作用を直接的に表現するものではありません。