量子チャネルの基礎

数学的な観点では、チャネルとは密度行列から密度行列への線形写像であり、ある一定の要件を満たすものです。 このレッスンを通じて、チャネルを表すには大文字のギリシャ文字（$\Phi$ や $\Psi$ など）を使い、特定の場合にはそれ以外の文字も使います。

チャネル $\Phi$ にはそれぞれ入力系と出力系があります。入力系を $\mathsf{X}$、出力系を $\mathsf{Y}$ と呼ぶことにします。 チャネルの出力系が入力系と同じになることはよくあります。その場合は、入出力の両方を同じ文字 $\mathsf{X}$ で表すことができます。

チャネルは線形写像である

チャネルは線形写像によって記述されます。これは、古典情報の標準的な定式化における確率的操作や、量子情報の簡略的な定式化におけるユニタリ操作と同様です。

チャネル $\Phi$ が、密度行列 $\rho$ で状態が記述される入力系 $\mathsf{X}$ に作用すると、チャネルの出力系は密度行列 $\Phi(\rho)$ で記述されます。 $\Phi$ の出力系も $\mathsf{X}$ である場合には、チャネルは $\mathsf{X}$ の状態を $\rho$ から $\Phi(\rho)$ へと変化させるものとして、単純に捉えることができます。 $\Phi$ の出力系が $\mathsf{X}$ ではなく別の系 $\mathsf{Y}$ である場合には、$\mathsf{Y}$ はチャネルを適用するプロセスによって新たに生成される系であり、チャネルが適用されると入力系 $\mathsf{X}$ はもはや利用できなくなります。まるでチャネル自体が $\mathsf{X}$ を $\mathsf{Y}$ へと変換し、状態 $\Phi(\rho)$ に置いたかのようなものです。

チャネルが線形写像によって記述されるという仮定は、公理、すなわち証明されるものではなく理論の基本的な仮定として捉えることができます。 しかし、確率論やすでに学んだ密度行列の性質と整合するためには、チャネルが密度行列入力の凸結合に対して線形に作用する必要があることを確認できます。

より具体的に言うと、チャネル $\Phi$ があり、密度行列 $\rho$ と $\sigma$ で表される2つの状態のいずれかにある系に適用するとします。 $\rho$ にチャネルを適用すると密度行列 $\Phi(\rho)$ が得られ、$\sigma$ に適用すると密度行列 $\Phi(\sigma)$ が得られます。 したがって、$\mathsf{X}$ の入力状態を確率 $p$ で $\rho$、確率 $1-p$ で $\sigma$ とランダムに選ぶならば、出力状態として確率 $p$ で $\Phi(\rho)$、確率 $1-p$ で $\Phi(\sigma)$ が得られ、これを密度行列の重み付き平均 $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma)$ として表すことができます。

一方、チャネルの入力状態を重み付き平均 $p\rho + (1-p)\sigma$ で表すと考えると、出力は $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma)$ となります。 どちらの見方をしても同じ状態ですから、次の等式が成り立たなければなりません。

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

任意の密度行列 $\rho$、$\sigma$ とスカラー $p\in [0,1]$ に対してこの条件を満たす写像がある場合、その写像をすべての行列入力（密度行列に限らない）に対して線形となるよう拡張する方法は常に一意に定まります。

チャネルは密度行列を密度行列に変換する

当然のことながら、チャネルは線形写像であるだけでなく、密度行列を密度行列に変換しなければなりません。 チャネル $\Phi$ が密度行列 $\rho$ で表される状態の入力系に作用するとき、得られる系の状態は $\Phi(\rho)$ で表されます。これが状態として解釈されるためには、$\Phi(\rho)$ が有効な密度行列でなければなりません。

ただし、より一般的な状況を考えることが非常に重要です。チャネル $\Phi$ が系 $\mathsf{X}$ を系 $\mathsf{Y}$ に変換する際、何も起きない追加の系 $\mathsf{Z}$ が存在する場合です。 すなわち、ある密度行列で表される状態にある系の対 $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ から始まり、$\mathsf{X}$ にだけ $\Phi$ を適用して $\mathsf{Y}$ に変換するとき、対 $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ の状態を表す密度行列が得られなければなりません。

チャネル $\Phi$（入力系 $\mathsf{X}$、出力系 $\mathsf{Y}$）が、$\mathsf{Z}$ に何もしない場合に $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ の状態を $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ の状態に変換する様子を数学的に記述できます。 簡単のため、$\mathsf{Z}$ の古典的な状態集合を $\{0,\ldots,m-1\}$ とします。 これにより、$(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ の状態を表す任意の密度行列 $\rho$ を次の形式で書くことができます。

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

この式の右辺はブロック行列であり、内側の括弧を取り除いた「行列の行列」と考えることができます。 これにより、中間の式でディラック記法を使って記述した通常の行列が得られます。 各行列 $\rho_{a,b}$ の行と列は $\mathsf{X}$ の古典的な状態に対応しており、これらの行列は次の簡単な式で求められます。

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

これらは一般的には密度行列ではないことに注意してください。これらを並べて $\rho$ を形成したときに初めて密度行列が得られます。

次の式は、$\Phi$ が $\mathsf{X}$ に適用されたときに得られる $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ の状態を表します。

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

与えられた $\Phi$ と $\rho$ に対してこの式を評価するには、各 $\rho_{a,b}$ が単独では密度行列ではないため、$\Phi$ が密度行列でない入力に対してどのように動作するかを理解する必要があります。 この式は $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho)$ という表現と整合しており、 $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ は系 $\mathsf{Z}$ に対する恒等チャネルを表します。 これは、行列から行列への線形写像に対してテンソル積の概念を拡張することを前提としており、その拡張は直感的ですが、このレッスンには本質的ではないため詳細には説明しません。

上で述べたことを繰り返しますが、線形写像 $\Phi$ が有効なチャネルであるためには、$\mathsf{Z}$ のどんな選択に対しても、また $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ の対のどんな密度行列 $\rho$ に対しても、$\mathsf{X}$ に $\Phi$ を適用したとき常に密度行列が得られることが必要です。 数学的には、写像がチャネルであるための条件として、トレース保存性（チャネルを適用して得られる行列のトレースが1になること）と完全正値性（結果の行列が半正定値であること）が必要です。 これらはどちらも重要な性質であり、個別に考察・研究することができますが、このレッスンの目的においては、これらの性質を切り離して考えることは必須ではありません。

実際には、密度行列が入力されると常に密度行列を出力するが、複合系の密度行列を密度行列に写さない線形写像が存在します。そのため、そのような線形写像はチャネルのクラスから除外されます。 （行列転置によって与えられる線形写像が最も単純な例です。）

2つの系 $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Z}$ が入れ替わり、$\Phi$ が右ではなく左の系に作用する場合についても、上記と類似の式があります。

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

これは $\rho$ が $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ではなく $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ の状態であることを前提としています。 今回のブロック行列表現は機能しません。なぜなら行列 $\rho_{a,b}$ が $\rho$ 内の連続する行・列に収まらないからですが、基礎となる数学的構造は同じです。

複合系の一部だけに適用した場合でも常に密度行列を密度行列に変換するという要件を満たすあらゆる線形写像は、有効なチャネルを表します。 したがって、抽象的な意味では、チャネルの概念は密度行列の概念と、チャネルが線形に作用するという仮定によって規定されます。 この点で、チャネルは量子情報の簡略的な定式化におけるユニタリ操作に類似しています。ユニタリ操作はまさに、与えられた系の量子状態ベクトルを常に量子状態ベクトルに変換する線形写像です。また、古典情報の標準的な定式化における確率的操作（確率行列として表される）にも類似しており、それは確率ベクトルを常に確率ベクトルに変換する線形写像そのものです。

チャネルとしてのユニタリ操作

$\mathsf{X}$ を系とし、$U$ をその系に対する操作を表すユニタリ行列とします。 この操作を密度行列上で記述するチャネル $\Phi$ は、$\mathsf{X}$ の量子状態を表すすべての密度行列 $\rho$ に対して次のように定義されます。

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

左から $U$、右から $U^{\dagger}$ を掛けるこの操作は、行列 $U$ による*共役（conjugation）*と呼ばれます。

この記述は、量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ を表す密度行列が $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ であることと整合しています。 特に、ユニタリ操作 $U$ が $\vert\psi\rangle$ に作用すると、出力状態はベクトル $U\vert\psi\rangle$ で表され、この状態を記述する密度行列は次のようになります。

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

チャネルとして操作 $U$ が純粋状態に対して $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ のように作用することが分かれば、線形性により、任意の密度行列 $\rho$ に対しても上記の式 $(1)$ の通りに動作することが導けます。

$U = \mathbb{I}$ としたときに得られる特別なチャネルが恒等チャネル$\;\operatorname{Id}$ です。そのチャネルが作用する系を明示したいときは添字（例えば $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$）を付けることもあります。 恒等チャネルの出力は常に入力と等しくなります：$\operatorname{Id}(\rho) = \rho$。 これは面白みのないチャネルに見えるかもしれませんが、実際には非常に重要なチャネルです。最初の例としてこれが登場するのは理にかなっています。 恒等チャネルは文脈によっては完璧なチャネルであり、理想的なメモリや、送信者から受信者への完全なノイズのない情報伝送を表します。

ユニタリ操作によって定義されるすべてのチャネルは確かに有効なチャネルです。 行列 $U$ による共役は線形写像を与え、$\rho$ が $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ の密度行列であり $U$ がユニタリであれば、次の式で表される結果

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

もまた密度行列です。 具体的に言えば、この行列は半正定値でなければなりません。$\rho = M^{\dagger} M$ とすれば

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

が $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})$ について成り立ち、またトレースの巡回性からトレースは1でなければなりません。

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

チャネルの凸結合

同じ入力系と出力系を持つ2つのチャネル $\Phi_0$ と $\Phi_1$ があるとします。 任意の実数 $p\in[0,1]$ に対して、確率 $p$ で $\Phi_0$ を、確率 $1-p$ で $\Phi_1$ を適用することができ、これにより新たなチャネル $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1$ が得られます。 このチャネルが与えられた密度行列に作用する仕方は、次の簡単な式で表されます。

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

より一般的に、チャネル $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ と確率ベクトル $(p_0,\ldots, p_{m-1})$ があれば、これらのチャネルを平均して新たなチャネルを作ることができます。

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

これはチャネルの凸結合であり、このプロセスを経て常に有効なチャネルが得られます。 数学的には、与えられた入力系と出力系に対して、すべてのチャネルの集合は凸集合であるということです。

例えば、ある系にユニタリ操作の集合のうちの1つをランダムに適用することができます。 これにより得られるのが混合ユニタリチャネルであり、次の形式で表されるチャネルです。

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

すべてのユニタリ操作がパウリ行列（またはパウリ行列のテンソル積）である混合ユニタリチャネルはパウリチャネルと呼ばれ、量子コンピューティングでよく使われます。

Qubitチャネルの例

次に、ユニタリでないチャネルの具体例をいくつか見ていきましょう。 これらすべての例で、入力系と出力系はどちらも単一のQubitです。すなわち、これらはQubitチャネルの例です。

Qubitリセットチャネル

このチャネルは非常にシンプルなことをします。Qubitを $\vert 0\rangle$ 状態にリセットします。 線形写像として、このチャネルはすべてのQubit密度行列 $\rho$ に対して次のように表されます。

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

すべての密度行列 $\rho$ のトレースは $1$ ですが、このように書くことで、このチャネルが密度行列だけでなく任意の $2\times 2$ 行列に適用できる線形写像であることが明確になります。 すでに見たように、チャネルが複合系の一部だけに適用された場合に何が起きるかを記述するには、密度行列でない入力に対してもチャネルが線形写像としてどのように動作するかを理解する必要があります。

例えば、$\mathsf{A}$ と $\mathsf{B}$ がQubitsであり、対 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ がベル状態 $\vert \phi^+\rangle$ にあるとします。 密度行列としてこの状態は次のように表されます。

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

ディラック記法を使えば、この状態は次のように表すこともできます。

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

$\mathsf{A}$ にQubitリセットチャネルを適用し、$\mathsf{B}$ に何もしないと、次の状態が得られます。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

$\mathsf{A}$ をリセットしたことが $\mathsf{B}$ に影響を与え、$\mathsf{B}$ が完全混合状態になったと言いたくなるかもしれません。しかし、ある意味ではそれは逆です。 $\mathsf{A}$ がリセットされる前から、$\mathsf{B}$ の縮小状態はすでに完全混合状態であり、$\mathsf{A}$ をリセットしてもそれは変わりません。

完全位相緩和チャネル

次はQubitチャネル $\Delta$ の例で、$2\times 2$ 行列への作用によって記述されます。

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

言葉で言えば、$\Delta$ は $2\times 2$ 行列の非対角成分をゼロにします。 この例はQubitに限らず任意の系に一般化できます。入力された密度行列の非対角成分をすべてゼロにし、対角成分はそのままにするチャネルです。

このチャネルは完全位相緩和チャネルと呼ばれ、デコヒーレンスとして知られるプロセスの極端な形を表すと考えることができます。デコヒーレンスは本質的に量子重ね合わせを破壊し、古典的な確率的状態に変えてしまいます。

このチャネルについて別の見方をすると、Qubitに対する標準基底測定を記述するものと見なすことができます。入力Qubitを測定して捨て、測定結果を記述する密度行列が出力されます。 あるいは同等に、測定結果を捨て、測定後の状態のままQubitを残すとも考えられます。

再びeビットを考え、$\Delta$ を2つのQubitの一方だけに適用したときに何が起きるか見てみましょう。 具体的には、Qubits $\mathsf{A}$ と $\mathsf{B}$ の対 $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ が状態 $\vert\phi^+\rangle$ にあるとし、2番目のQubitにチャネルを適用します。 得られる状態は次の通りです。

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

この式はブロック行列を使って表すこともできます。

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

また、完全位相緩和チャネルのように完全にではなく、わずかだけQubitを位相緩和するチャネルも考えられます。これは完全位相緩和チャネルよりも穏やかな形のデコヒーレンスです。 特に、$\varepsilon \in (0,1)$ を小さいが非ゼロの実数とします。 次のようなチャネルを定義できます。

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

このチャネルは与えられたQubit密度行列 $\rho$ に次のように作用します。

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

すなわち、確率 $1-\varepsilon$ で何も起きず、確率 $\varepsilon$ でQubitが位相緩和します。 行列の観点では、この作用は次のように表されます。対角成分はそのままで、非対角成分は $1-\varepsilon$ 倍されます。

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

完全脱分極チャネル

次はQubitチャネル $\Omega$ の別の例です。

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

ここで $\mathbb{I}$ は $2\times 2$ 単位行列を表します。 言葉で言えば、どんな密度行列 $\rho$ が入力されても、チャネル $\Omega$ は完全混合状態を出力します。 これ以上ノイジーなチャネルはありません！ このチャネルは完全脱分極チャネルと呼ばれ、完全位相緩和チャネルと同様に、Qubitの代わりに任意の系に一般化できます。

位相緩和の場合と同様に、確率 $\varepsilon$ で脱分極が起きる、より穏やかなバリアントも考えられます。

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$