純粋化

純粋化の定義

まず、純粋化の厳密な数学的定義から始めましょう。

定義

$\mathsf{X}$ を密度行列 $\rho$ で表される状態にある系とし、$\vert\psi\rangle$ を $\mathsf{Y}$ をトレースアウトすることで $\rho$ が得られるような対 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の量子状態ベクトルとします。

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

このとき、状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ は $\rho$ の純粋化と呼ばれます。

定義の等式が成り立つとき、量子状態ベクトルではなく密度行列で表された純粋状態 $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ もまた $\rho$ の純粋化と呼ばれることが一般的ですが、本レッスンでは主に量子状態ベクトルを指す用語として使用します。

純粋化という用語は、系の順序が逆になる場合、系や状態の名前が異なる場合（もちろん）、そして3つ以上の系がある場合にも、より広い意味で使用されます。 例えば、$\vert \psi \rangle$ が複合系 $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C})$ の純粋状態を表す量子状態ベクトルであり、等式

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

が系 $(\mathsf{A},\mathsf{C})$ の状態を表す密度行列 $\rho$ に対して成り立つ場合、$\vert\psi\rangle$ はやはり $\rho$ の純粋化と呼ばれます。

ただし、このレッスンでは定義で説明した特定の形式に焦点を当てます。 この定義による純粋化に関する性質や事実は、通常、系を2つの複合系に並べ直して分割することで3つ以上の系に一般化できます。片方が $\mathsf{X}$ の役割を担い、もう一方が $\mathsf{Y}$ の役割を担います。

純粋化の存在

$\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ を任意の2つの系とし、$\rho$ を $\mathsf{X}$ の与えられた状態とします。 系 $\mathsf{Y}$ が十分に大きければ、$\rho$ を純粋化する — つまり $\vert\psi\rangle$ が $\rho$ の純粋化であるということ — $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ が存在することを示します。 特に、$\mathsf{Y}$ が $\mathsf{X}$ と同じかそれ以上の古典状態を持つならば、すべての状態 $\rho$ に対してこのような形の純粋化が必ず存在します。 一部の状態 $\rho$ では $\mathsf{Y}$ の古典状態がより少なくて済みます。一般に、$\rho$ を純粋化する $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の量子状態ベクトルが存在するために必要かつ十分な $\mathsf{Y}$ の古典状態数は $\operatorname{rank}(\rho)$ です。

まず、任意の正の整数 $n$ に対して、$\rho$ を $n$ 個の純粋状態の凸結合として表す式を考えます。

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

この式において、$(p_0,\ldots,p_{n-1})$ は確率ベクトルで、$\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ は $\mathsf{X}$ の量子状態ベクトルです。

このような表現を得る一つの方法はスペクトル定理を用いることで、その場合 $n$ は $\mathsf{X}$ の古典状態数、$p_0,\ldots,p_{n-1}$ は $\rho$ の固有値、$\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ はこれらの固有値に対応する正規直交固有ベクトルになります。

実際には、和に $\rho$ のゼロ固有値に対応する項を含める必要はなく、代わりに $n = \operatorname{rank}(\rho)$、$p_0,\ldots,p_{n-1}$ を $\rho$ の非ゼロ固有値として選ぶことができます。 これは上記の形で $\rho$ を表現するために必要な $n$ の最小値です。

明確にしておくと、$\rho$ を純粋状態の凸結合として表す際に、スペクトル定理から得られる表現を使う必要はありません — これはそのような表現を得る一つの方法に過ぎません。 特に、$n$ は任意の正の整数でよく、単位ベクトル $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ が直交している必要はなく、確率 $p_0,\ldots,p_{n-1}$ が $\rho$ の固有値である必要もありません。

次のようにして $\rho$ の純粋化を特定できます。

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

ここでは $\mathsf{Y}$ の古典状態が $0,\ldots,n-1$ を含むと仮定しています。 含まない場合は、$0,\ldots,n-1$ の代わりに $\mathsf{Y}$ の $n$ 個の異なる古典状態を任意に選んで代入できます。 これが確かに $\rho$ の純粋化であることの確認は、部分トレースを計算するだけの簡単な作業で、以下の2つの等価な方法で行えます。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

より一般的には、任意の正規直交ベクトルの組 $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\}$ に対して、量子状態ベクトル

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

is a purification of $\rho$.

例

$\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ がどちらも Qubit で、

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

が $\mathsf{X}$ の状態を表す密度行列であるとします。

スペクトル定理を使って $\rho$ を次のように表せます。

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

ここで $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle$ です。 量子状態ベクトル

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

は対 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の純粋状態を記述するため、$\rho$ の純粋化となります。

別の方法として、次のように書くこともできます。

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

これは純粋状態の凸結合ですが、$\vert 0\rangle$ と $\vert +\rangle$ が直交しておらず $1/2$ が $\rho$ の固有値でもないため、スペクトル分解ではありません。 それでも、量子状態ベクトル

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

is a purification of $\rho$.

シュミット分解

次に、シュミット分解について説明します。これは、ある特定の形を持つ対の系の量子状態ベクトルの表現です。 シュミット分解は純粋化と密接に関係しており、それ自体として非常に有用です。 実際、対の系の量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ について考えるとき、最初のステップはしばしばこの状態のシュミット分解を特定または考察することです。

定義

$\vert \psi\rangle$ を対の系 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の与えられた量子状態ベクトルとします。$\vert\psi\rangle$ のシュミット分解とは、次の形の表現です。

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

ここで $p_0,\ldots,p_{r-1}$ は和が $1$ になる正の実数で、$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ と $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ の両方が正規直交集合です。

$\vert\psi\rangle$ のシュミット分解における値

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

はシュミット係数と呼ばれ、一意に決まります（順序を除いて）— これらだけが $\vert\psi\rangle$ のそのような表現に現れることのできる正の実数です。 一方、集合

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{and}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

は一意には決まりません。これらのベクトル集合の選択における自由度は、以下の説明で明らかになります。

与えられた量子状態ベクトル $\vert\psi\rangle$ が確かにシュミット分解を持つことを検証し、その過程でシュミット分解の求め方を学びましょう。

まず、系 $\mathsf{X}$ に対応するベクトル空間の任意の（必ずしも直交しない）基底 $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ を考えます。 これが基底であるため、以下の等式が成り立つような $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ の選択が常に一意に存在します。

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

例えば、$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ を $\mathsf{X}$ に関連する標準基底とします。 $\mathsf{X}$ の古典状態集合が $\{0,\ldots,n-1\}$ であると仮定すると、各 $a\in\{0,\ldots,n-1\}$ に対して $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ となり、

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

が成り立ちます。ここで

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

です（各 $a\in\{0,\ldots,n-1\}$ に対して）。 このような表現は、$\mathsf{X}$ の標準基底測定を考えるときに頻繁に用いられます。

重要なのは、この例での $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ の公式

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

ベクトル $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ に対するこの例は、$\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ が正規直交基底であるからこそ成り立ちます。 一般に、$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ が必ずしも正規直交でない基底である場合、ベクトル $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ は方程式 $(1)$ によって依然として一意に決まりますが、別の公式が必要になります。 それらを求める1つの方法は、まず次の方程式を満たすベクトル $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ を特定することです。

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

が全ての $a,b\in\{0,\ldots,n-1\}$ に対して満たされるようなベクトル $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ を特定することで、その後

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

$\mathsf{X}$ に対応するベクトル空間の与えられた基底 $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ に対して、方程式 $(1)$ を満たす一意に決まるベクトル $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ は、たとえ $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ が正規直交基底であったとしても、特別な性質を満たすとは限りません。 しかし、$\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ を縮約状態の固有ベクトルの正規直交基底として選ぶ場合

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

興味深いことが起こります。 具体的には、方程式 $(1)$ を満たす一意に決まる集まり $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ について、この集まりは直交していなければならないことが分かります。

より詳しく見るために、$\rho$ のスペクトル分解を考えます。

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

ここでは $\rho$ の固有値を $p_0,\ldots,p_{n-1}$ と表記しています。これは $\rho$ が密度行列であることを反映しており、したがって固有値のベクトル $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ は確率ベクトルを形成します。一方、$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ は、これらの固有値に対応する固有ベクトルの正規直交基底です。 方程式 $(1)$ を満たす一意な集まり $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ が必然的に直交していることを示すために、まず部分トレースを計算することから始めることができます。

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

この式は $\rho$ のスペクトル分解と一致していなければなりません。 $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ が基底であることから、行列の集合

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

は線形独立であると結論できます。したがって次のことが分かります。

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

$\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ が直交していることを確立します。

これで $\vert\psi\rangle$ のシュミット分解をほぼ得ることができました。 残る作業は、$(1)$ において $p_a = 0$ となる項を破棄し、残った各項について単位ベクトル $\vert y_a\rangle$ を用いて $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ と書くことです。

これを行う便利な方法は、縮約状態 $\rho$ のスペクトル分解における固有値/固有ベクトルの組に好きなように番号を付けることができるという観察から始まります — つまり、固有値が降順にソートされていると仮定できます。

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

$r = \operatorname{rank}(\rho)$ とすると、$p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ かつ $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0$ であることが分かります。 したがって、次のようになります。

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

そして、量子状態ベクトル $\vert \psi \rangle$ を次のように書くことができます。

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

次を考えると、

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

$a=0,\ldots,r-1$ に対して、単位ベクトル $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ を次のように定義できます。

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

これにより、各 $a\in\{0,\ldots,r-1\}$ に対して $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ となります。 ベクトル $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ が直交かつ非ゼロであることから、$\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ は正規直交集合であることが分かり、$\vert\psi\rangle$ のシュミット分解が得られました。

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

ベクトル $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ と $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ の選択に関しては、$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ を縮約状態 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ の非ゼロ固有値に対応する固有ベクトルの任意の正規直交集合として選ぶことができ(上で行ったように)、その場合ベクトル $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ は一意に決まります。

この状況は2つのシステムの間で対称であるため、代わりに $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ を縮約状態 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ の非ゼロ固有値に対応する固有ベクトルの任意の正規直交集合として選ぶこともでき、その場合ベクトル $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ は一意に決まります。

ただし、一方の集合が、先に説明した対応する縮約状態の固有ベクトルの集合として選ばれると、もう一方は決まってしまうことに注意してください — したがって、これらを独立に選ぶことはできません。

このシリーズで再び取り上げられることはありませんが、縮約状態 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ の非ゼロ固有値 $p_0,\ldots,p_{r-1}$ は、一対のシステム $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の任意の純粋状態 $\vert\psi\rangle$ に対して、縮約状態 $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ の非ゼロ固有値と常に一致しなければならないことは注目に値します。

直感的に言えば、ペア $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ が純粋状態にあるとき、$\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ の縮約状態はまったく同じ量のランダムさを持っています。 この事実はシュミット分解によって明らかになります。両方の場合において、縮約状態の固有値は純粋状態のシュミット係数の2乗と一致しなければなりません。

純粋化のユニタリ同値性

シュミット分解を使って、純粋化のユニタリ同値性として知られる、純粋化に関する根本的に重要な事実を確立することができます。

定理

純粋化のユニタリ同値性: $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ をシステムとし、$\vert\psi\rangle$ と $\vert\phi\rangle$ を $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の量子状態ベクトルであり、どちらも $\mathsf{X}$ の同じ状態を純粋化するものとします。記号で書くと、

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

となります。ここで $\rho$ は $\mathsf{X}$ の状態を表すある密度行列です。 そのとき、$\mathsf{Y}$ のみに作用し、最初の純粋化を2番目の純粋化に変換するユニタリ演算 $U$ が存在しなければなりません。

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

この定理のいくつかの意味についてはレッスンを進めながら議論しますが、まずはこれがシュミット分解に関する先ほどの議論からどのように導かれるかを見てみましょう。

私たちの仮定は、$\vert\psi\rangle$ と $\vert\phi\rangle$ が次の方程式を満たす一対のシステム $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の量子状態ベクトルであるということです。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

ここで $\rho$ は $\mathsf{X}$ の状態を表すある密度行列です。

$\rho$ のスペクトル分解を考えます。

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

ここで $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ は $\rho$ の固有ベクトルの正規直交基底です。 前述の手順に従うことで、$\vert\psi\rangle$ と $\vert\phi\rangle$ の両方について、次の形のシュミット分解を得ることができます。

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

これらの式において、$r$ は $\rho$ の階数であり、 $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ と $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ は $\mathsf{Y}$ に対応する空間内のベクトルの正規直交集合です。

同じ空間内の同じ要素数を持つ任意の2つの正規直交集合について、最初の集合を2番目の集合に変換するユニタリ行列が常に存在します。したがって、$a = 0,\ldots,r-1$ に対して $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ となるようなユニタリ行列 $U$ を選ぶことができます。 特に、このような行列 $U$ を見つけるには、まずグラム・シュミットの直交化過程を使って、正規直交集合を正規直交基底 $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ と $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\}$($m$ は $\mathsf{Y}$ に対応する空間の次元)まで拡張し、それから次を取ります。

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

すると次のことがわかります。

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

これで証明が完了しました。

以下では、純粋化のユニタリ同値性に関連する多くの興味深い例と含意のうちのいくつかを示します。 後ほど、フィデリティの文脈でウールマンの定理として知られる、さらに重要な例が登場します。

超高密度符号化

超高密度符号化プロトコルでは、アリスとボブはeビットを共有します。すなわち、アリスはQubit $\mathsf{A}$ を、ボブはQubit $\mathsf{B}$ を保持しており、ペア $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ は全体として $\vert\phi^{+}\rangle$ ベル状態にあります。 このプロトコルは、アリスが自分のQubit $\mathsf{A}$ にユニタリ操作を施すことで、この共有状態を4つのベル状態 $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ $\vert\psi^-\rangle$ のいずれかに変換できることを説明するものです。 アリスがこれを行った後、$\mathsf{A}$ をボブに送り、ボブはペア $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ に対する測定を行い、どのベル状態にあるかを確認します。

4つのベル状態すべてに対して、ボブのQubit $\mathsf{B}$ の縮約状態は完全混合状態です。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

浄化のユニタリ等価性から、各ベル状態に対して、アリスのQubit $\mathsf{A}$ のみに作用するユニタリ操作が存在し、$\vert\phi^+\rangle$ を目的のベル状態に変換できることが直ちに結論づけられます。 これはプロトコルの詳細を明示するわけではありませんが、浄化のユニタリ等価性によって超高密度符号化が可能であることがすぐに示唆されます。

また、ベル状態をより大きな系における完全混合状態の浄化の正規直交基底に置き換えれば、超高密度符号化をより大きな系へ一般化することは常に可能であるとも結論づけられます。

暗号への応用

浄化のユニタリ等価性は、量子情報を用いた暗号プリミティブの実装に関して示唆を与えます。 例えば、浄化のユニタリ等価性によって、量子情報だけを用いて理想的な形式のビットコミットメントを実装することは不可能であることが明らかになります。

ビットコミットメントプリミティブには、（互いに信頼していない）アリスとボブの2人の参加者が関与し、2つのフェーズがあります。

• 最初のフェーズはコミットフェーズであり、アリスは二値 $b\in\{0,1\}$ にコミットします。 このコミットメントは拘束力を持つ必要があります。つまり、アリスは考えを変えられず、また秘匿性も必要です。つまり、ボブはアリスがどの値にコミットしたかを知ることができません。
• 2番目のフェーズは開示フェーズであり、アリスがコミットしたビットがボブに明かされ、ボブはそれが本当にコミットされた値であることを確信できるようになります。

直感的・操作的に言えば、ビットコミットメントの最初のフェーズは、アリスが二値を紙に書き、その紙を金庫に入れてボブに渡し、自分は鍵を手元に置くようなものとして機能するべきです。 アリスは紙に書いた二値にコミットしています。なぜなら、金庫はボブの手元にあるので（拘束力）、ボブは金庫を開けられないためアリスがどの値にコミットしたかわかりません（秘匿性）。 第2フェーズは、アリスがボブに鍵を渡し、ボブが金庫を開けてアリスがコミットした値を確認できるようなものとして機能するべきです。

結局のところ、量子情報のみによって完全なビットコミットメントプロトコルを実装することは不可能です。これは浄化のユニタリ等価性に矛盾するためです。 以下はそれを示す議論の概要です。

まず、プロトコルの実行中にアリスとボブがユニタリ操作のみを行うか、初期化された新しい系を導入するのみと仮定できます。 すべてのチャネルがStinespring表現を持つという事実により、この仮定が可能になります。

プロトコルのコミットフェーズの終了時に、ボブは何らかの複合系を保持しており、その状態はアリスが $0$ にコミットした場合は $\rho_0$、アリスが $1$ にコミットした場合は $\rho_1$ の2つの量子状態のいずれかでなければなりません。 プロトコルが完全に秘匿性を持つためには、ボブがこれら2つの状態を区別できないことが必要なので、$\rho_0 = \rho_1$ でなければなりません。 （そうでなければ、これらの状態を確率的に識別できる測定が存在することになります。）

しかし、アリスとボブがユニタリ操作のみを使用したことから、コミットフェーズ後のプロトコルに関与するすべての系の状態は純粋状態でなければなりません。 具体的に、アリスが $0$ にコミットするときのプロトコルに関与するすべての系の純粋状態を $\vert\psi_0\rangle$、アリスが $1$ にコミットするときを $\vert\psi_1\rangle$ とします。 アリスとボブの（複合系の可能性がある）系をそれぞれ $\mathsf{A}$ と $\mathsf{B}$ と表すと、

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

完全に秘匿性を持つプロトコルに必要な $\rho_0 = \rho_1$ という条件から、$\vert\psi_0\rangle$ と $\vert\psi_1\rangle$ は同じ状態の浄化であることがわかります。したがって、浄化のユニタリ等価性から、$\mathsf{A}$ のみに作用するユニタリ操作 $U$ が存在して

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

が成り立ちます。したがって、アリスは $\mathsf{A}$ に $U$ を適用することで $0$ から $1$ へのコミットメントを自由に変更でき、または $U^{\dagger}$ を適用することで $1$ から $0$ へ変更できます。つまり、この仮想的なプロトコルは拘束力を全く持たないことになります。

Hughston-Jozsa-Woottersの定理

本レッスンのこのパートで、浄化のユニタリ等価性の最後の応用として、Hughston-Jozsa-Wootters定理として知られる以下の定理について説明します。 （これは、実際にはその名で知られる定理のわずかに簡略化された表現です。）

定理

Hughston-Jozsa-Wootters$:\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ を系とし、$\vert\phi\rangle$ をペア $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の量子状態ベクトルとします。 また、$N$ を任意の正の整数、$(p_0,\ldots,p_{N-1})$ を確率ベクトル、$\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ を $\mathsf{X}$ の状態を表す量子状態ベクトルとし、

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

が成り立つとします。 $\mathsf{Y}$ 上の（一般の）測定 $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ が存在して、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ が状態 $\vert\phi\rangle$ にあるときに $\mathsf{Y}$ に対してこの測定を行うと、以下の2つの条件が満たされます：

1. 各測定結果 $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ は確率 $p_a$ で現れます。

2. 測定結果 $a$ が得られたとき、$\mathsf{X}$ の状態は $\vert\psi_a\rangle$ になります。

直感的に言えば、この定理は、2つの系の純粋状態がある場合、最初の系の縮約状態を純粋状態の凸結合として考えるいかなる方法に対しても、2番目の系の測定を行うことで、最初の系についてのその考え方を現実のものにできる、ということを示しています。 $N$ は必ずしも $\mathsf{X}$ や $\mathsf{Y}$ の古典状態数で制限されないことに注意してください。 例えば、$\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ がQubitであっても $N = 1,000,000$ であることもあり得ます。

この定理を浄化のユニタリ等価性を用いて証明します。まず、古典状態集合が $\{0,\ldots,N-1\}$ である新しい系 $\mathsf{Z}$ を導入します。 トリプル $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ の次の2つの量子状態ベクトルを考えます。

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

最初のベクトル $\vert\gamma_0\rangle$ は、与えられた量子状態ベクトル $\vert\phi\rangle$ に新しい系 $\mathsf{Z}$ の $\vert 0\rangle$ をテンソル積したものです。 2番目のベクトル $\vert\gamma_1\rangle$ は、少なくとも $\mathsf{Y}$ を $\mathsf{Z}$ に置き換えれば定理を自明にするような量子状態ベクトルです。なぜなら、$\mathsf{Z}$ に対する標準基底測定を行うと、各結果 $a$ が確率 $p_a$ で得られ、その結果が得られたとき $\mathsf{X}$ の状態は $\vert\psi_a\rangle$ になることが明らかだからです。

ペア $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ をひとつの複合系として考えてトレースアウトすると $\mathsf{X}$ が残り、状態

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

の2つの異なる浄化を特定したことになります。

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

そして2番目のものについては、次のようになります。

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

したがって、次を満たす $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ 上のユニタリ演算 $U$ が存在しなければなりません。

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

純粋化のユニタリ同値性によります。

このユニタリ演算 $U$ を使うことで、次の図が示すように、定理の要件を満たす測定を実装できます。 言葉で言うと、$\vert 0\rangle$ 状態に初期化された新しいシステム $\mathsf{Z}$ を導入し、$(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ に $U$ を適用して $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ の状態を $\vert\gamma_0\rangle$ から $\vert\gamma_1\rangle$ に変換し、その後標準基底測定で $\mathsf{Z}$ を測定します。これは既に望ましい振る舞いを与えることを観察済みです。

図中の点線の四角形はこの測定の実装を表しており、次のように半正定値行列の集まり $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ として記述できます。

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$