忠実度

このレッスンの章では、量子状態間の忠実度（fidelity）について説明します。忠実度は、状態の類似性、つまりどれだけ「重なっている」かを測る指標です。

2つの量子状態ベクトルが与えられた場合、それらの量子状態ベクトルに対応する純粋状態間の忠実度は、状態ベクトルの内積の絶対値に等しくなります。 これは類似性を測る基本的な方法です。結果は $0$ から $1$ の間の値をとり、値が大きいほど類似性が高いことを示します。 特に、直交状態に対しては（定義より）値はゼロになり、全体位相の差を除いて等しい状態に対しては値は $1$ になります。

直感的には、忠実度は量子状態ベクトルから密度行列への、この基本的な類似性の尺度の拡張と見なすことができます。

忠実度の定義

まず忠実度の定義から始めましょう。 次の定義は一見、奇妙あるいは謎めいて見えるかもしれませんし、扱いにくいと感じるかもしれません。 しかし、この定義が表す関数は多くの興味深い性質と複数の同値な表現形式を持つため、最初に見た印象よりもずっと扱いやすいことが分かります。

定義

$\rho$ と $\sigma$ を同じ系の量子状態を表す密度行列とします。 $\rho$ と $\sigma$ の間の忠実度は、トレース（Tr）を用いて次のように定義されます。

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

注釈

これは一般的な定義ですが、忠実度をここで定義した量の2乗として定義し、ここで定義した量をルート忠実度と呼ぶこともよくあります。 どちらの定義が正しくどちらが間違いというわけではなく、本質的には好みの問題です。 ただし、どちらの定義が使われているかを常に確認・明確化することが重要です。

定義の式を理解するために、まず $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ が半正定値行列であることに注目します。

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

ただし $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ です。 すべての半正定値行列と同様に、この半正定値行列は一意の半正定値な平方根を持ち、その跡（トレース）が忠実度となります。

任意の正方行列 $M$ に対して、2つの半正定値行列 $M^{\dagger} M$ と $M M^{\dagger}$ の固有値は常に同じであり、したがってこれらの行列の平方根についても同様です。 $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ と選び、正方行列のトレースはその固有値の和であるという事実を使うと、次のことが分かります。

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

つまり、定義からは直接分かりませんが、忠実度は2つの引数について対称です。

トレースノルムによる忠実度の表現

忠実度を表す同値な式として、次の式があります。

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

ここでトレースノルムが現れています。これは前のレッスンで状態識別の文脈で登場したものです。 （必ずしも正方でない）行列 $M$ のトレースノルムは次のように定義できます。

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

この定義を行列 $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ に適用することで、定義中の式が得られます。

（正方）行列 $M$ のトレースノルムの別の表現として、次の式があります。

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

ここで最大化は、$M$ と同じ行数・列数を持つすべてのユニタリ行列 $U$ にわたって行われます。 この式を今の状況に適用すると、忠実度の別の表現が得られます。

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

純粋状態の忠実度

忠実度の定義について最後に1点補足しておくと、すべての純粋状態は（密度行列として）自分自身の平方根に等しいため、一方または両方の状態が純粋状態の場合、忠実度の式はかなり簡略化されます。 特に、2つの状態のうち一方が純粋状態の場合、次の式が成り立ちます。

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

両方の状態が純粋状態の場合、式は対応する量子状態ベクトルの内積の絶対値に簡略化されます。これは本章の冒頭で述べたことです。

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

忠実度の基本的性質

忠実度には多くの注目すべき性質と複数の同値な表現があります。 以下にいくつかの基本的な性質を証明なしで挙げます。

1. 同じサイズの任意の2つの密度行列 $\rho$ と $\sigma$ に対して、忠実度 $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ はゼロから1の間にあります: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ となるのは、$\rho$ と $\sigma$ の像が直交する場合（すなわちエラーなしで識別可能な場合）に限り、$\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ となるのは $\rho = \sigma$ の場合に限ります。

2. 忠実度は乗法的です。つまり、積状態間の忠実度は個々の忠実度の積に等しくなります:

   $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$

3. 状態間のフィデリティは、任意のチャネルの作用の下で非減少です。つまり、$\rho$ と $\sigma$ が密度行列であり、$\Phi$ がこれら2つの状態を入力として取ることができるチャネルである場合、必然的に次が成り立ちます。

   $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$

4. Fuchs-van de Graaf 不等式は、フィデリティとトレース距離の間の密接な(ただし正確ではない)関係を確立します。任意の2つの状態 $\rho$ と $\sigma$ に対して、次が成り立ちます。

   $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

最後の性質は図の形で表すことができます。

具体的には、同じ系の状態 $\rho$ と $\sigma$ の任意の選択に対して、$y$ 軸を $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ の値で横切る水平線と、$x$ 軸を $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ の値で横切る垂直線の交点は、直線 $y = 1-x$ を下辺界、単位円を上辺界とする灰色の領域内に必ず存在します。 実用的な観点からこの図で最も重要な領域は、灰色の領域の左上隅です。 2つの状態間の忠実度が1に近ければ、そのトレース距離は0に近く、逆もまた同様です。

ジェントル測定補題

次に、ジェントル測定補題（gentle measurement lemma）として知られる単純ですが重要な事実を見ていきましょう。これは忠実度と非破壊測定を結びつけるものです。 この補題は折に触れて登場する非常に有用な補題であり、忠実度の一見扱いにくそうな定義が実はこの補題の証明を非常に簡単にするという点でも注目に値します。

設定は次のとおりです。 $\mathsf{X}$ を状態 $\rho$ にある系とし、$\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ を $\mathsf{X}$ の一般測定を表す半正定値行列の集合とします。 さらに、状態 $\rho$ にある系 $\mathsf{X}$ にこの測定を行ったとき、ある結果が非常に高い確率で起こると仮定します。 具体的には、確率の高い測定結果を $0$ とし、特に

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

が小さい正の実数 $\varepsilon > 0$ に対して成り立つと仮定します。

ジェントル測定補題が主張することは、これらの仮定のもとで、Naimarkの定理によって $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ から得られる非破壊測定は、確率の高い測定結果 $0$ が観測された場合に $\rho$ に対してわずかな乱れしか与えないということです。

より具体的には、この補題は、$\rho$ と非破壊測定によって得られる状態（結果が $0$ であることを条件とする）との間の忠実度の2乗が $1-\varepsilon$ より大きいことを述べています。

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

これを証明するために、測定に関する基本的な事実が必要です。 測定行列 $P_0, \ldots, P_{m-1}$ は半正定値であり、恒等行列に和されます。このことから $P_0$ のすべての固有値は $0$ と $1$ の間の実数であることが分かります。 これは、任意の単位ベクトル $\vert\psi\rangle$ に対して、各 $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ について値 $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ は非負の実数であり（各 $P_a$ が半正定値であるため）、これらの数の和が1になることから従います。

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

したがって $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ は常に $0$ と $1$ の間の実数であり、これは $P_0$ のすべての固有値が $0$ と $1$ の間の実数であることを意味します。なぜなら、関心のある固有値に対応する単位固有ベクトルを $\vert\psi\rangle$ として選ぶことができるからです。

この観察から、すべての密度行列 $\rho$ に対して次の不等式が成り立ちます。

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

詳しく述べると、スペクトル分解

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

から始めて、次のことが分かります。

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

$\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ は非負の実数であり、各 $k = 0,\ldots,n-1$ に対して $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ が成り立つことから従います（$0$ から $1$ の間の数を2乗しても大きくなることはありません）。

さて、忠実度を評価し、この不等式を使用することで、ジェントル測定補題を証明できます。 まず、関心のある式を簡略化しましょう。

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

これらはすべて等式であることに注意してください。この時点では不等式（および他のいかなる不等式も）を使用していないため、忠実度の正確な表現が得られています。 ここで不等式を適用すると、次のことが分かります。

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

したがって、両辺を2乗すると、

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Uhlmannの定理

レッスンの最後に、Uhlmannの定理（Uhlmann's theorem）を見ていきましょう。これは忠実度に関する基本的な事実であり、忠実度と精製の概念を結びつけるものです。 この定理が単純な言葉で述べていることは、任意の2つの量子状態間の忠実度は、それらの状態の精製の（絶対値での）内積の最大値に等しいということです。

定理

Uhlmannの定理$:\rho$ と $\sigma$ を系 $\mathsf{X}$ の状態を表す密度行列とし、$\mathsf{Y}$ を $\mathsf{X}$ と少なくとも同じ数の古典状態を持つ系とします。$\rho$ と $\sigma$ の間の忠実度は次のように与えられます。

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

ここで最大化は $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ のすべての量子状態ベクトル $\vert\phi\rangle$ と $\vert\psi\rangle$ にわたって行われます。

この定理は精製のユニタリ同値性を使って証明できますが、完全に直線的ではなく、途中で一つのトリックを利用します。

始めに、2つの密度行列 $\rho$ と $\sigma$ のスペクトル分解を考えます。

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

2つの集合 $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ と $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ は、それぞれ $\rho$ と $\sigma$ の固有ベクトルの正規直交基底であり、$p_0,\ldots,p_{n-1}$ と $q_0,\ldots,q_{n-1}$ は対応する固有値です。

また、$\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ と $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ を、$\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ と $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle$ の各成分の複素共役をとることで得られるベクトルとして定義します。 すなわち、任意のベクトル $\vert w\rangle$ に対して、各 $c\in\{0,\ldots,n-1\}$ について次の式に従って $\vert\overline{w}\rangle$ を定義します。

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

任意の2つのベクトル $\vert u\rangle$ と $\vert v\rangle$ に対して $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle$ が成り立つことに注意してください。 より一般的に、任意の正方行列 $M$ に対して次の式が成り立ちます。

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

$\vert u\rangle$ と $\vert v\rangle$ が直交するのは、$\vert \overline{u}\rangle$ と $\vert \overline{v}\rangle$ が直交する場合に限ることが分かり、したがって $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ と $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ はともに正規直交基底です。

次に、$\rho$ と $\sigma$ それぞれの精製である以下の2つのベクトル $\vert\phi\rangle$ と $\vert\psi\rangle$ を考えます。

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

これが前述のトリックです。 この時点では、$\rho$ と $\sigma$ の精製としてこの特定の選択が良いことを明示的に示すものは何もありませんが、これらは有効な精製であり、複素共役の操作によって代数計算が必要な形で成立します。

精製のユニタリ同値性により、系のペア $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ に対する $\rho$ のすべての精製は $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$（ある種のユニタリ行列 $U$ に対して）の形をとり、同様に $\sigma$ のすべての精製は $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$（ある種のユニタリ行列 $V$ に対して）の形をとることが分かります。 そのような2つの精製の内積は次のように簡略化できます。

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

$U$ と $V$ がすべての可能なユニタリ行列にわたって変化するとき、行列 $(U^{\dagger} V)^T$ もすべての可能なユニタリ行列にわたって変化します。 したがって、$\rho$ と $\sigma$ の2つの精製の内積の絶対値を最大化すると、次の式が得られます。

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

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