超高密度符号化

超高密度符号化（スーパーデンス符号化）は、ある意味でテレポーテーションと相補的な目的を達成するプロトコルです。 テレポーテーションが古典通信2ビット（エンタングルメント1 e-ビットのコストを伴う）を使って1 Qubitの送信を可能にするのに対し、超高密度符号化は量子通信1 Qubit（同じく1 e-ビットのコストを伴う）を使って古典情報2ビットの送信を可能にします。

より詳しく説明すると、送信者（アリス）と受信者（ボブ）が1 e-ビットのエンタングルメントを共有しているとします。 このレッスンの規約に従えば、アリスはQubit $\mathsf{A}$ を保持し、ボブはQubit $\mathsf{B}$ を保持し、ペア $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ は全体として状態 $\vert\phi^+\rangle$ にあります。 アリスはボブに古典ビット $c$ と $d$ の2ビットを伝えたいと考えており、これを1 Qubitを送ることで実現します。

この成果は、テレポーテーションが実現することに比べれば面白みに欠けると考えるのも無理はありません。 予見できる将来において、Qubitの送信は古典ビットの送信よりもはるかに困難である可能性が高く、e-ビットのコストをかけてまで量子通信1 Qubitを古典情報2ビットと交換することはほとんど割に合わないように思えます。 しかし、だからといって超高密度符号化が面白くないわけではありません。むしろ非常に興味深いプロトコルです。

このレッスンのテーマに沿って言えば、超高密度符号化が興味深い理由の一つは、エンタングルメントの具体的かつ（情報理論の文脈では）かなり印象的な利用例を示している点にあります。 量子情報理論における有名な定理であるホレボの定理は、共有エンタングル状態を使わない場合、1 Qubitを送ることで伝えられる古典情報は1ビットを超えることができないことを意味しています。 （ホレボの定理はこれよりも一般的なものです。 その正確な記述は技術的で説明が必要ですが、これはその一つの帰結です。） したがって、超高密度符号化を通じて、共有エンタングルメントはQubitを送ることで運べる古典情報の容量を事実上2倍にすることを可能にします。

プロトコル

次の量子Circuit図が超高密度符号化プロトコルを描写しています。

アリスが行うことを言葉で表すと以下のようになります。

1. $d=1$ の場合、アリスは自分のQubit $\mathsf{A}$ に $Z$ Gateを適用します（$d=0$ の場合は何もしません）。

2. $c=1$ の場合、アリスは自分のQubit $\mathsf{A}$ に $X$ Gateを適用します（$c=0$ の場合は何もしません）。

その後、アリスはQubit $\mathsf{A}$ をボブに送ります。

ボブはQubit $\mathsf{A}$ を受け取ると、まず $\mathsf{A}$ を制御、$\mathsf{B}$ を標的とする制御NOTゲートを適用し、続いて $\mathsf{A}$ にアダマールゲートを適用します。 そしてボブは $\mathsf{B}$ を測定して $c$ を、$\mathsf{A}$ を測定して $d$ を得ます。どちらも標準基底測定を使います。

解析

このプロトコルの背後にある考え方はとてもシンプルです。 アリスはボブと共有したいベル状態を実質的に選択し、 ボブに自分のQubitを送り、ボブはどのベル状態をアリスが選んだかを測定によって判定します。

つまり、最初に $\vert\phi^+\rangle$ を共有している状態から、ビット $c$ と $d$ に応じて、アリスは自分のQubit $\mathsf{A}$ に $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ または $XZ$ を適用することで、この状態をそのまま保つか、他のベル状態の一つに変換します。

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

ボブの操作は4つのベル状態に次の効果をもたらします。

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

これは、各状態に対してボブの操作の結果を一つずつ計算することで直接確認できます。

ボブが測定を行うと、アリスがどのベル状態を選んだかを判定できます。 プロトコルが正しく機能することを確認するには、各場合をチェックするだけです。

• $cd = 00$ の場合、ボブが $\mathsf{A}$ を受け取ったときの $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ の状態は $\vert \phi^+\rangle$ です。ボブはこの状態を $\vert 00\rangle$ に変換し、$cd = 00$ を得ます。

• $cd = 01$ の場合、ボブが $\mathsf{A}$ を受け取ったときの $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ の状態は $\vert \phi^-\rangle$ です。ボブはこの状態を $\vert 01\rangle$ に変換し、$cd = 01$ を得ます。

• $cd = 10$ の場合、ボブが $\mathsf{A}$ を受け取ったときの $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ の状態は $\vert \psi^+\rangle$ です。ボブはこの状態を $\vert 10\rangle$ に変換し、$cd = 10$ を得ます。

• $cd = 11$ の場合、ボブが $\mathsf{A}$ を受け取ったときの $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ の状態は $\vert \psi^-\rangle$ です。ボブはこの状態を $-\vert 11\rangle$ に変換し、$cd = 11$ を得ます。（ここでは $-1$ の位相因子は何の影響も与えません。）