量子テレポーテーション

量子テレポーテーション（略して「テレポーテーション」とも呼びます）は、送信者（アリス）が受信者（ボブ）に対してQubitを送信するプロトコルです。具体的には、共有された量子もつれ状態（1つのeビット）と2ビットの古典的通信を組み合わせることで実現されます。 「テレポーテーション」という名前は、物質が未来の技術によって一つの場所から別の場所へ転送されるというSFの概念を想起させるものですが、量子テレポーテーションでは物質がテレポートされるわけではない点を理解しておく必要があります。実際にテレポートされるのは量子情報です。

テレポーテーションの設定は次の通りです。

アリスとボブがeビットを共有しているとします。アリスはQubit $\mathsf{A}$ を持ち、ボブはQubit $\mathsf{B}$ を持ち、そのペア $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ は状態 $\vert\phi^+\rangle$ にあります。 例えば、アリスとボブが過去に同じ場所にいて、qubit $\mathsf{A}$ と $\mathsf{B}$ を状態 $\vert \phi^+ \rangle$ に準備し、それぞれ自分のQubitを持ってその場を離れたというケースが考えられます。 また、第三者が関与する場合や複雑な分散プロセスなど、別の方法でこの共有eビットが確立されるケースも考えられます。 こういった詳細は、テレポーテーションプロトコル自体には含まれません。

次に、アリスはボブに送りたい3番目のQubit $\mathsf{Q}$ を手に入れます。 Qubit $\mathsf{Q}$ の状態はアリスにもボブにも未知であり、何の仮定も設けません。 例えば、qubit $\mathsf{Q}$ はアリスにもボブにもアクセスできない他の一つ以上のシステムとエンタングルしている可能性があります。 アリスがQubit $\mathsf{Q}$ をボブに送りたいということは、アリスがプロトコル開始時に $\mathsf{Q}$ が持っていた状態と同じ状態にあり、$\mathsf{Q}$ が他のシステムと持っていた相関をそのまま維持した形で、まるでアリスが $\mathsf{Q}$ を直接ボブに手渡したかのようにボブがQubitを持つことを意味します。

アリスがQubit $\mathsf{Q}$ をボブに直接物理的に送ることも考えられ、送信中に変化や乱れが生じなければアリスとボブの目的は達成されます。 しかし、テレポーテーションの文脈ではこれは実現不可能と仮定されます。つまりアリスはボブにQubitを直接送ることができません。 ただし、古典情報をボブに送ることは可能です。

これらの仮定はさまざまな場面で合理的なものです。 例えば、アリスがボブの正確な位置を知らない場合や、両者の距離が大きい場合、現在の技術や近い将来の技術でQubitを物理的に送ることは、控えめに言っても困難です。 しかし、日常経験からも分かるように、そのような状況での古典情報の伝達は非常に簡単です。

ここで、アリスとボブが共有eビットを使わなくても目的を達成できるかどうかという疑問が生じるかもしれません。 つまり、古典的通信だけでQubitを送信する方法があるでしょうか。

答えはノーです。古典的通信だけで量子情報を送信することは不可能です。 これは基本的な量子情報理論を用いて数学的に証明することは難しくありませんが、クローン禁止定理を考えることで古典的通信だけでQubitを送ることの不可能性を排除することもできます。

古典的通信だけで量子情報を送る方法があったと仮定してみましょう。 古典情報は簡単にコピーしてブロードキャストできるため、アリスからボブへの古典的送信は第二の受信者（ここではチャーリーとします）にも届く可能性があります。 チャーリーがボブと同じ古典的通信を受信した場合、チャーリーもQubit $\mathsf{Q}$ のコピーを得られることにならないでしょうか？ これは $\mathsf{Q}$ がクローンされたことを意味し、クローン禁止定理によって不可能であることは既に分かっています。したがって、古典的通信だけで量子情報を送る方法はないという結論が得られます。

しかし、アリスとボブがeビットを共有しているという仮定がある場合には、アリスとボブが目的を達成することが可能になります。 これがまさに量子テレポーテーションプロトコルが行うことです。

プロトコル

テレポーテーションプロトコルを説明する量子Circuit図を以下に示します。

この図は少し様式化されており、アリスとボブの間の分離を示しています。2本の斜めの線はアリスからボブに送られる古典ビットを表しており、それ以外は通常の量子Circuit図です。 Qubitの名前は初期状態も表示できるようにするため（これは便利なときによく行います）、左側ではなく線の上に示されています。 また、$X$ ゲートと $Z$ ゲートは古典的制御を持つことに注意してください。これは、古典的制御ビットが $0$ か $1$ かに応じて、Gate が適用されないか適用されるかを意味します。

テレポーテーションプロトコルを言葉で表すと次の通りです。

1. アリスは $\mathsf{Q}$ を制御、$\mathsf{A}$ をターゲットとして、ペア $(\mathsf{A},\mathsf{Q})$ に制御NOT演算を行い、その後 $\mathsf{Q}$ にアダマール演算を行います。

2. 次にアリスは $\mathsf{A}$ と $\mathsf{Q}$ の両方を標準基底測定で測定し、古典的な測定結果をボブに送ります。$\mathsf{A}$ の測定結果を $a$、$\mathsf{Q}$ の測定結果を $b$ と呼ぶことにします。

3. ボブはアリスから $a$ と $b$ を受け取り、これらのビットの値に応じて以下の操作を行います。

   • $a = 1$ の場合、ボブはQubit $\mathsf{B}$ にビット反転（または $X$ ゲート）を適用します。
   • $b = 1$ の場合、ボブはQubit $\mathsf{B}$ に位相反転（または $Z$ ゲート）を適用します。

   つまり、$ab$ が $00$、$01$、$10$、$11$ のいずれかであるかに応じて、ボブはQubit $\mathsf{B}$ に $\mathbb{I}$、$Z$、$X$、$ZX$ のいずれかの演算を行います。

これがテレポーテーションプロトコルの完全な説明です。 以下の解析によって、プロトコルを実行すると、qubit $\mathsf{B}$ はプロトコル実行前に $\mathsf{Q}$ が持っていた状態（他のシステムとの相関を含む）に置かれることが明らかになります。これはプロトコルが完璧なQubit通信チャネルを効果的に実装し、$\mathsf{Q}$ の状態が $\mathsf{B}$ へ「テレポーテーション」されることを意味します。

解析に進む前に、このプロトコルが $\mathsf{Q}$ の状態をクローンすることには成功しないことに注目してください。クローン禁止定理によってそれが不可能であることは既に分かっています。 プロトコルが終了した時点で、qubit $\mathsf{Q}$ の状態はQubit $\mathsf{Q}$ 上で行われた測定の結果として、元の値から $\vert b\rangle$ に変化しています。 また、eビットが実質的にプロセスの中で「消費」されたことにも注目してください。$\mathsf{A}$ の状態は $\vert a\rangle$ に変わり、$\mathsf{B}$（またはその他のシステム）ともはやエンタングルしていません。 これがテレポーテーションのコストです。

解析

テレポーテーションプロトコルを解析するために、$\mathsf{Q}$ が最初に状態 $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ にある場合から始めて、上述の Circuit の動作を一ステップずつ確認します。 これは最も一般的な状況ではなく、$\mathsf{Q}$ が他のシステムとエンタングルしている可能性を捉えていませんが、この単純なケースから始めることで解析がより明確になります。 より一般的なケースは以下で、この単純なケースの解析に続いて説明します。

具体的には、次の図が示す各時刻でのQubit $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ の状態を考えます。

Qubit $\mathsf{Q}$ がプロトコル開始時に状態 $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ にあると仮定すると、プロトコル開始時における3つのQubit $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ の合成状態は次のようになります。

$$\vert \pi_0 \rangle = \vert \phi^+\rangle \otimes \bigl(\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle \bigr) = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 001\rangle + \beta \vert 111\rangle}{\sqrt{2}}.$$

最初に適用されるGateは制御NOT Gateであり、状態 $\vert\pi_0\rangle$ を次のように変換します。

$$\vert \pi_1 \rangle = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 011\rangle + \beta \vert 101\rangle}{\sqrt{2}}.$$

次にアダマールGateが適用され、状態 $\vert\pi_1\rangle$ を次のように変換します。

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle & = \frac{\alpha \vert 00\rangle \vert + \rangle + \alpha \vert 11\rangle\vert +\rangle + \beta \vert 01\rangle\vert -\rangle + \beta \vert 10\rangle\vert -\rangle}{\sqrt{2}}\\[2mm] & = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 001 \rangle + \alpha \vert 110 \rangle + \alpha \vert 111 \rangle + \beta \vert 010 \rangle - \beta \vert 011 \rangle + \beta \vert 100 \rangle - \beta \vert 101 \rangle}{2}. \end{aligned}$$

テンソル積の多重線形性を利用して、この状態を次のように書き直すことができます。

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 00\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle - \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 01\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle + \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 10\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle - \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 11\rangle. \end{aligned}$$

一見すると、何か魔法のようなことが起きているように見えるかもしれません。アリスからボブへの通信がまだ行われていないにもかかわらず、左端のQubit $\mathsf{B}$ が $\alpha$ と $\beta$ に依存しているように見えるからです。 これは錯覚です。 スカラーはテンソル積の中を自由に移動できるため、$\alpha$ と $\beta$ は左端のQubitとの関連が他のQubitよりも強いわけでも弱いわけでもありません。私たちは測定の解析を容易にするために、代数的にこの状態を書き直しただけです。

それでは、アリスの標準基底測定の4つの可能な結果と、それに応じてボブが行う操作を考えてみましょう。

可能な測定結果

• アリスの測定結果が $aq = 00$ となる確率は

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  この場合、$(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ の状態は

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 00 \rangle$$

  となります。ボブはこの場合何もしないため、これが3つのQubitの最終状態になります。

• アリスの測定結果が $aq = 01$ となる確率は

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle - \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  この場合、$(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ の状態は

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle - \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle$$

  となります。この場合ボブは $\mathsf{B}$ に $Z$ ゲートを適用し、$(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ は状態

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle$$

  になります。

• アリスの測定結果が $aq = 10$ となる確率は

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle + \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  この場合、$(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ の状態は

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle + \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle$$

  となります。この場合ボブはQubit $\mathsf{B}$ に $X$ ゲートを適用し、$(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ は状態

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle$$

  になります。

• アリスの測定結果が $aq = 11$ となる確率は

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle - \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  この場合、$(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ の状態は

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle - \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle$$

  となります。この場合ボブはQubit $\mathsf{B}$ に $ZX$ 演算を行い、$(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ は状態

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle$$

  になります。

4つのケースすべてにおいて、ボブのQubit $\mathsf{B}$ はプロトコル終了時に状態 $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$（qubit $\mathsf{Q}$ の初期状態）になることが分かります。 これが示したかったことです。テレポーテーションプロトコルは正しく機能しています。

また、qubit $\mathsf{A}$ と $\mathsf{Q}$ は、アリスが得た測定結果に応じて、$\vert 00\rangle$、$\vert 01\rangle$、$\vert 10\rangle$、$\vert 11\rangle$ のいずれかの状態に、それぞれ確率 $1/4$ でなることも分かります。 したがって、上述の通り、プロトコル終了時にアリスはもはや状態 $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ を持っておらず、これはクローン禁止定理と整合しています。

アリスの測定はアリス自身が $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$ という状態に関する情報を全く得られないことに注目してください。 つまり、4つの可能な測定結果のそれぞれの確率は $1/4$ であり、$\alpha$ と $\beta$ とは無関係です。 これもテレポーテーションが正しく機能するために不可欠な性質です。 未知の量子状態から情報を抽出しようとすると、一般的にその状態を乱してしまいますが、ここではボブが状態を乱さずに受け取ることができます。

次に、qubit $\mathsf{Q}$ が最初から別のシステム $\mathsf{R}$ とエンタングルしているという、より一般的な状況を考えてみましょう。 上記と同様の解析によって、テレポーテーションプロトコルはこのより一般的なケースでも正しく機能することが明らかになります。 プロトコル終了時に、ボブが持つQubit $\mathsf{B}$ は、プロトコル開始時に $\mathsf{Q}$ がそうであったように $\mathsf{R}$ とエンタングルしており、まるでアリスが $\mathsf{Q}$ をボブに直接手渡したかのようになります。

これを証明するために、ペア $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ の状態が最初に次の形の量子状態ベクトルで与えられると仮定します。

$$\alpha \vert 0 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_1\rangle_{\mathsf{R}},$$

ここで $\vert\gamma_0\rangle$ と $\vert\gamma_1\rangle$ はシステム $\mathsf{R}$ の量子状態ベクトルであり、$\alpha$ と $\beta$ は $\vert \alpha \vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1$ を満たす複素数です。 ペア $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ の任意の量子状態ベクトルはこのように表すことができます。

以下の図は前と同じ Circuit を示していますが、システム $\mathsf{R}$（図の上部にある何も操作が行われないQubitの集合で表される）が追加されています。

テレポーテーションプロトコルを実行したときの動作を解析するために、前のレッスンで説明したのと同じ方法でシステムを並べ替えることが役立ちます。 具体的には、$(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q},\mathsf{R})$ の順ではなく、$(\mathsf{B},\mathsf{R},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ の順でシステムの状態を考えます。 以下の式では、明確にするために各システムの名前を添え字として付けています。

プロトコル開始時のこれらのシステムの状態は次のようになります。

$$\begin{aligned} \vert \pi_0\rangle & = \vert \phi^+\rangle_{\mathsf{BA}} \otimes \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{Q}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{Q}}\vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}}\bigr)\\[1mm] & = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11 \rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

まず制御NOT Gateが適用され、この状態が次のように変換されます。

$$\vert\pi_1\rangle = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}.$$

次にアダマールGateが適用されます。 上の単純なケースの解析と同様の方法で結果の状態を展開・整理すると、次の式が得られます。

$$\begin{aligned} \vert \pi_2 \rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}}. \end{aligned}$$

上と全く同じように、アリスの測定の4つの可能な結果と、それに対応するボブの操作を考えると、プロトコル終了時に $(\mathsf{B},\mathsf{R})$ の状態は常に

$$\alpha \vert 0 \rangle \vert \gamma_0\rangle + \beta \vert 1 \rangle \vert \gamma_1\rangle$$

になることが分かります。

非公式に言えば、解析は上の単純なケースと比べて大きく変わっておらず、$\vert\gamma_0\rangle$ と $\vert\gamma_1\rangle$ は本質的に「一緒についてくるだけ」です。 したがって、テレポーテーションは完璧な量子通信チャネルを実現することに成功し、qubit $\mathsf{Q}$ の内容を $\mathsf{B}$ に効果的に転送し、他のシステムとのすべての相関を保存します。

これは、上記の単純なケースの解析を踏まえると、実はまったく驚くべきことではありません。 その解析が明らかにしたように、任意の量子状態にある1つのQubitに対して恒等演算のように働く物理的プロセスがあり、それが可能な方法は一つしかありません。プロトコルによって実装される演算は恒等演算でなければならないのです。 つまり、孤立した1つのQubitに対してテレポーテーションが正しく機能することが分かれば、そのプロトコルが完全な無雑音量子チャネルを効果的に実装していると結論づけることができ、入力Qubitが他のシステムとエンタングルしていても正しく機能するはずです。

さらなる考察

テレポーテーションについて、いくつかの簡潔な締めくくりのコメントをします。

まず、テレポーテーションは量子情報の応用ではなく、量子通信を行うためのプロトコルです。 したがって、量子通信が有用である限りにおいてのみ有用です。

確かに、テレポーテーションがいつか量子情報を通信する標準的な方法になるかもしれないと推測するのは合理的です。例えば、エンタングルメント蒸留として知られるプロセスを通じてです。 これは、多数のノイズのある（不完全な）eビットをより少数の高品質なeビットに変換するプロセスであり、次にそれらを無雑音またはほぼ無雑音のテレポーテーションに使用することができます。 エンタングルメント蒸留のプロセスは、直接的な量子通信ほど繊細ではないという考え方があります。 例えば、損失を許容することができ、うまくいかなければやり直すことができます。 これに対して、通信したいと考えている実際のQubitはより貴重な場合があります。

最後に、テレポーテーションの背後にある考え方とその仕組みは量子情報と計算において非常に基本的なものであることを理解しておく必要があります。 これはまさに量子情報理論の礎であり、そのバリエーションが生まれています。 例えば、量子Gateは量子ゲートテレポーテーションとして知られる密接に関連したプロセスを通じて実装することができます。これはQubitを通信するのではなく、テレポーテーションを使ってQubitに演算を適用するものです。