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はじめに

以下の動画では、John Watrous がこのレッスン「動作するエンタングルメント」の内容を解説しています。別ウィンドウで開く場合は、YouTube 動画をご利用ください。このレッスンのスライドをダウンロードすることもできます。

このレッスンでは、根本的に重要な三つの例を取り上げます。 最初の二つは、量子テレポーテーションと超高密度符号化のプロトコルであり、主に送信者から受信者への情報伝送に関するものです。 三つ目の例は、CHSH ゲームと呼ばれる抽象的なゲームであり、量子情報における現象、いわゆる非局所性を示します。 （CHSH ゲームは必ずしもゲームとして説明されるわけではありません。 多くの場合、実験として、具体的には Bell テストの一例として説明され、CHSH 不等式と呼ばれることもあります。）

量子テレポーテーション、超高密度符号化、CHSH ゲームは、量子情報の仕組みを説明するための単なる例ではありません。もちろんその役割も果たしていますが、それ以上に量子情報の根幹をなすものです。 これら三つの例すべてにおいてエンタングルメントが重要な役割を果たしているため、このレッスンはコースの中でエンタングルメントが実際に機能する様子を見る最初の機会となり、エンタングルメントがなぜこれほど興味深く重要な概念であるかを探り始める場となります。

各例に進む前に、三つの例すべてに共通する予備的なコメントをいくつか述べておきます。

Alice と Bob​

Alice と Bob は、情報のやり取りを伴うシステム、プロトコル、ゲーム、その他のインタラクションにおいて、仮想的な主体やエージェントに伝統的に与えられる名前です。 これらは人間の名前ですが、抽象的な概念を表すものであり、必ずしも実際の人間を指すわけではありません。たとえば Alice と Bob は、複雑な計算を行うことが期待される場合もあります。

これらの名前は 1970 年代に暗号の文脈で初めてこのように使われましたが、それ以来この慣習はより広く一般的になっています。 単純に、A と B で始まる（少なくとも世界の一部では）一般的な名前であるというのが理由です。 また、簡潔さのために Alice を「彼女」、Bob を「彼」と呼ぶことも非常に便利です。

デフォルトでは、Alice と Bob は異なる場所にいると想定されます。 彼らの目標や行動は、登場する文脈によって異なる場合があります。 たとえば、情報の伝送を意味する通信においては、Alice を送信者、Bob を伝送される情報の受信者と定めることができます。 一般に、Alice と Bob が協力し合う場合もあり、これは幅広い場面で典型的ですが、他の場面では競争関係にあったり、一致しないあるいは調和しない異なる目標を持つ場合もあります。 これらはそれぞれの状況において明確にする必要があります。

また、必要に応じて Charlie や Diane などの追加の登場人物を導入することもできます。 盗聴者を表す Eve や悪意を持って行動する人物を表す Mallory など、特定の役割を表す他の名前が使われることもあります。

リソースとしてのエンタングルメント​

二つの Qubit のエンタングルした量子状態の例を思い出してください:

∣ϕ+⟩=12∣00⟩+12∣11⟩.(1)\vert \phi^+ \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle. \tag{1}

これは四つの Bell 状態のうちの一つであり、エンタングルした量子状態の典型的な例としてよく見られます。

また、以前に登場した二つのビットの確率的状態の例も振り返りましょう:

12∣00⟩+12∣11⟩.(2)\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle. \tag{2}

これはある意味で、エンタングルした量子状態 (1)(1) に類似しています。 二つのビットが相関している確率的状態を表していますが、エンタングルしてはいません。 エンタングルメントは本質的に定義上、純粋に量子的な現象です。 簡単に言えば、エンタングルメントとは非古典的な量子相関を指します。

残念ながら、エンタングルメントを非古典的な量子相関として定義することは、直感的なレベルではやや不満足なものです。なぜなら、エンタングルメントでないものによってエンタングルメントを定義しているからです。 このことが、エンタングルメントが何であるか、そして何が特別であるかを直感的な言葉で正確に説明することを難しくしている理由かもしれません。

エンタングルメントの典型的な説明は、状態 (1)(1) と (2)(2) を意味のある形で区別できていないことが多いです。 たとえば、二つのエンタングルした Qubit のうち一方を測定すると、他方の Qubit の状態が瞬時に影響を受ける、あるいは二つの Qubit を合わせた状態は別々に記述できない、あるいは二つの Qubit はどこか互いの記憶を保持し続ける、などと言われることがあります。 これらの発言は誤りではありませんが、なぜ上記の（エンタングルしていない）確率的状態 (2)(2) にも当てはまらないのでしょうか？ この状態が表す二つのビットは密接に結びついており、字義通りの意味でお互いの完全な記憶を持っています。 しかしこの状態はエンタングルしていません。

エンタングルメントが特別である理由、そして量子状態 (1)(1) が確率的状態 (2)(2) と大きく異なる理由を説明する一つの方法は、エンタングルメントによって何ができるか、あるいはエンタングルメントによって何が起きるかを説明することです。それは、状態をベクトルで表現する方法に関する私たちの選択を超えたものです。 このレッスンで取り上げる三つの例はすべてこの性質を持ち、状態 (1)(1) でできることが、状態 (2)(2) を含むいかなる古典的相関状態でもできないことを示しています。

実際、量子情報と量子計算の研究においては、エンタングルメントはさまざまなタスクを達成するためのリソースとして捉えられるのが一般的です。 この観点では、状態 (1)(1) はエンタングルメントの一単位を表すものとみなされ、これを e-bit と呼びます。 「e」は "entangled"（エンタングルした）または "entanglement"（エンタングルメント）の頭文字です。 状態 (1)(1) は確かに二つの Qubit の状態ですが、それが表すエンタングルメントの量は 1 e-bit です。

ちなみに、確率的状態 (2)(2) もリソースとして捉えることができ、それは一ビットの共有乱数性です。 たとえば暗号において、ランダムビットを誰かと共有することは（他の誰もそのビットを知らないという前提で）非常に有用であり、秘密鍵として、あるいは秘密鍵の一部として暗号化に使用できます。 しかしこのレッスンでは、エンタングルメントとそれを使ってできることに焦点を当てます。

用語に関する補足として、Alice と Bob が e-bit を共有すると言うとき、それは Alice が A\mathsf{A} という名前の Qubit を持ち、Bob が B\mathsf{B} という名前の Qubit を持ち、ペア (A,B)(\mathsf{A},\mathsf{B}) が全体として量子状態 (1)(1) にあることを意味します。 Qubit には別の名前を付けることもできますが、このレッスン全体を通じて、明確さを保つためにこれらの名前を使用します。