量子情報

複数システムの設定で量子情報に移る準備が整いました。 単一システムに関する前のレッスンと同様に、複数システムに対する量子情報の数学的記述は確率的な場合と非常に似ており、同様の概念と技法を使用します。

量子状態

複数のシステムは、単一の複合システムとして集合的に見ることができます。 確率的設定ではすでにこれを観察しており、量子設定も類似しています。 複数システムの量子状態は、単一システムの量子状態と同様に、複素数の要素を持ち、ユークリッドノルムが$1$に等しい列ベクトルによって表されます。 複数システムの場合、これらのベクトルの要素は、個々のシステムに関連付けられた古典状態集合のデカルト積に対応して配置されます。なぜなら、それが複合システムの古典状態集合だからです。

例えば、$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$が量子ビットである場合、単一システムとして集合的に見た量子ビットのペア$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の古典状態集合は、デカルト積$\{0,1\}\times\{0,1\}$です。 バイナリ値のペアを長さ2のバイナリ文字列として表すことにより、このデカルト積集合を集合$\{00,01,10,11\}$に関連付けます。 したがって、次のベクトルはすべてペア$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の量子状態ベクトルの例です:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

複数システムの量子状態ベクトルがどのように表現されるかには変形があり、好みに合った変形を選択できます。 上記の最初の量子状態ベクトルの例をいくつか示します。

1. 任意の古典状態$a$と$b$に対して$\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$という事実を使用して、代わりに次のように書くことができます

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. テンソル積記号を次のように明示的に書くことができます:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. 考慮されているシステムにどのように対応するかを示すために、ケットに添字を付けることができます:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

もちろん、量子状態ベクトルを列ベクトルとして明示的に書くこともできます:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

それが現れる文脈に応じて、これらの変形のいずれかが好ましい場合がありますが、それらはすべて同じベクトルを記述するという意味で同等です。

量子状態ベクトルのテンソル積

確率ベクトルに対して持っているものと同様に、量子状態ベクトルのテンソル積も量子状態ベクトルであり、再びシステム間の独立性を表します。

より詳細には、2つのシステムの場合から始めて、$\vert \phi \rangle$がシステム$\mathsf{X}$の量子状態ベクトルであり、$\vert \psi \rangle$がシステム$\mathsf{Y}$の量子状態ベクトルであるとします。 テンソル積$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$は、$\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$または$\vert \phi \otimes \psi \rangle$として書くこともでき、結合システム$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の量子状態ベクトルです。 再び、この形式の状態を積状態と呼びます。

直感的に言えば、システムのペア$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$が積状態$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$にあるとき、これは$\mathsf{X}$が量子状態$\vert \phi \rangle$にあり、$\mathsf{Y}$が量子状態$\vert \psi \rangle$にあり、2つのシステムの状態は互いに何の関係もないことを意味すると解釈できます。

テンソル積ベクトル$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$が実際に量子状態ベクトルであるという事実は、ユークリッドノルムがテンソル積に関して乗法的であることと一致しています:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

$\vert \phi \rangle$と$\vert \psi \rangle$は量子状態ベクトルであるため、$\|\vert \phi \rangle\| = 1$および$\|\vert \psi \rangle\| = 1$であり、したがって$\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1$であるため、$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$も量子状態ベクトルです。

これは2つ以上のシステムに一般化されます。 $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$がシステム$\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$の量子状態ベクトルである場合、$\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$は、結合システム$(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$の積状態を表す量子状態ベクトルです。 再び、これが量子状態ベクトルであることがわかります。なぜなら

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

エンタングル状態

複数システムのすべての量子状態ベクトルが積状態であるわけではありません。 例えば、量子状態ベクトル

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

の2つの量子ビットは積状態ではありません。 これを推論するために、確率状態の前のセクションで使用したのとまったく同じ議論に従うことができます。 つまり、$(1)$が積状態である場合、量子状態ベクトル$\vert\phi\rangle$と$\vert\psi\rangle$が存在し、

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

しかし、それは必然的に次の場合になります

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

これは、$\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$または$\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$（または両方）を意味します。 これは次の事実と矛盾します

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

および

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

両方がゼロではありません。 したがって、量子状態ベクトル$(1)$は、2つのシステム間の相関を表し、特にシステムがエンタングルしているとい言います。

特定の値$1/\sqrt{2}$はこの議論にとって重要ではないことに注意してください。重要なのは、この値がゼロではないということだけです。 したがって、例えば、量子状態

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

も同じ議論により積状態ではありません。

エンタングルメントは、量子情報の典型的な特徴であり、後のレッスンでより詳細に議論されます。 エンタングルメントは、特に密度行列によって記述できるノイズの多い量子状態の種類に対して、複雑になる可能性があります（これは量子情報の一般的な定式化コースで議論されます。これは量子情報と計算の理解シリーズの3番目のコースです）。 しかし、量子状態ベクトルの場合、エンタングルメントは相関と同等です: 積状態ではない量子状態ベクトルはエンタングル状態を表します。

対照的に、量子状態ベクトル

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

は積状態の例です。

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

したがって、この状態はエンタングルしていません。

ベル状態

いくつかの重要な複数量子ビット量子状態の例を見てみましょう。ベル状態から始めます。 これらは次の4つの2量子ビット状態です:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

ベル状態は、John Bellに敬意を表して名付けられました。 $\vert\phi^+\rangle$が積状態ではないことを確立する同じ議論は、他のベル状態も積状態ではないことを明らかにすることに注意してください: 4つのベル状態すべてが2つの量子ビット間のエンタングルメントを表します。

4つのベル状態すべてのコレクション

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

はベル基底として知られています。 その名前に忠実に、これは基底です。2つの量子ビットの任意の量子状態ベクトル、または実際に2つのビットの4つの古典状態に対応する要素を持つ任意の複素ベクトルは、4つのベル状態の線形結合として表すことができます。 例えば、

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

GHZ状態とW状態

次に、3つの量子ビットの状態の2つの興味深い例を考えます。 最初の例はGHZ状態です（Daniel Greenberger、Michael Horne、Anton Zeilingerに敬意を表して名付けられ、彼らはその特性のいくつかを最初に研究しました）:

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

2番目の例はいわゆるW状態です:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

これらの状態のどちらも積状態ではありません。つまり、3つの量子ビット量子状態ベクトルのテンソル積として書くことができません。 複数システムの量子状態の部分測定について議論するときに、これらの状態の両方を調べます。

追加の例

これまでに見た複数システムの量子状態の例は、2つまたは3つの量子ビットの状態ですが、異なる古典状態集合を持つ複数システムの量子状態を考えることもできます。

例えば、これは3つのシステム、$\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ $\mathsf{Z},$の量子状態です。ここで、$\mathsf{X}$の古典状態集合はバイナリアルファベット（つまり$\mathsf{X}$は量子ビット）であり、$\mathsf{Y}$と$\mathsf{Z}$の古典状態集合は$\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$です:

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

そして、これはすべて同じ古典状態集合$\{0,1,2\}$を共有する3つのシステム、$\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ $\mathsf{Z},$の量子状態の例です:

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

古典状態集合$\{0,1,2\}$を持つシステムは、しばしばトリットまたは（量子状態にあり得ると仮定して）クトリットと呼ばれます。 クディットという用語は、任意の$d$の選択に対して古典状態集合$\{0,\ldots,d-1\}$を持つシステムを指します。

量子状態の測定

単一システムの量子状態の標準基底測定は前のレッスンで議論されました: 古典状態集合$\Sigma$を持つシステムがベクトル$\vert \psi \rangle$によって表される量子状態にあり、そのシステムが（標準基底測定に関して）測定される場合、各古典状態$a\in\Sigma$は確率$\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2$で現れます。 これは、複数システムの量子状態があり、複合システム全体を測定することを選択する場合に何が起こるかを教えてくれます。これは、システムのすべてを測定することと同等です。

これを正確に述べるために、$\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$が古典状態集合$\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$をそれぞれ持つシステムであるとします。 次に、$(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$を集合的に単一システムとして見ることができます。その古典状態集合はデカルト積$\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$です。 このシステムの量子状態が量子状態ベクトル$\vert\psi\rangle$によって表され、すべてのシステムが測定される場合、各可能な結果$(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$は確率$\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2$で現れます。

例えば、システム$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$が共同で量子状態

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

にある場合、標準基底測定で両方のシステムを測定すると、結果$(0,\heartsuit)$が確率$9/25$で得られ、結果$(1,\spadesuit)$が確率$16/25$で得られます。

部分測定

ある量子状態の複数のシステムがあり、システムの真部分集合を測定する状況を考えてみましょう。 以前と同様に、古典状態集合$\Sigma$と$\Gamma$をそれぞれ持つ2つのシステム$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$から始めます。

一般に、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の量子状態ベクトルは次の形式をとります

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

ここで、$\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$は、次を満たす複素数のコレクションです

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

これは$\vert \psi \rangle$が単位ベクトルであることと同等です。

上記の議論から、$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$の両方が測定される場合、各可能な結果$(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$が確率で現れることはすでに知っています

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

代わりに、最初のシステム$\mathsf{X}$だけが測定されるとすると、各結果$a\in\Sigma$が現れる確率は次に等しくなければなりません

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

これは、確率的設定で既に見たもの、および物理の現在の理解と一致しています: $\mathsf{X}$が測定されたときに各結果が現れる確率は、$\mathsf{Y}$も測定されたかどうかに依存することはできません。なぜなら、それは光速より速い通信を可能にするからです。

$\mathsf{X}$の標準基底測定の特定の結果$a\in\Sigma$を得たとき、$\mathsf{X}$の量子状態が$\vert a\rangle$に等しくなるように変化することは当然期待されます。これは単一システムに対して行ったのと同じです。 しかし、$\mathsf{Y}$の量子状態はどうなるでしょうか？

この質問に答えるために、まずベクトル$\vert\psi\rangle$を次のように表現できます

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

ここで

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

各$a\in\Sigma$に対して。 ここでは、測定されているシステムの標準基底状態を分離するという、確率的な場合と同じ方法論に従っています。 $\mathsf{X}$の標準基底測定が各結果$a$を与える確率は次のとおりです:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

そして、$\mathsf{X}$の標準基底測定が結果$a$を与えた結果として、ペア$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の量子状態は一緒に次のようになります

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

つまり、状態は単一システムの場合のように「崩壊」しますが、$\mathsf{X}$の測定が結果$a$を生成したことと一致するために状態が必要とされる限りです。

非公式に言えば、$\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$は、$\mathsf{X}$の測定が結果$a$をもたらすことと一致する$\vert \psi\rangle$の成分を表します。 次に、このベクトルを正規化します。つまり、そのユークリッドノルムで割ります。これは$\|\vert\phi_a\rangle\|$に等しく、ユークリッドノルムが$1$に等しい有効な量子状態ベクトルを取得します。 この正規化ステップは、ベクトルをその要素の合計で割って確率ベクトルを取得するときに確率的設定で行ったことに類似しています。

例として、セクションの最初から2つの量子ビット$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の状態を考えます:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

最初のシステム$\mathsf{X}$が測定されたときに何が起こるかを理解するために、まず次のように書きます

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

上記の説明に基づいて、測定が結果$0$をもたらす確率は次のとおりです

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

この場合、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の状態は次のようになります

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

そして、測定が結果$1$をもたらす確率は

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

この場合、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の状態は次のようになります

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

対称的な方法で使用される同じ技法は、最初ではなく2番目のシステム$\mathsf{Y}$が測定される場合に何が起こるかを記述します。 今回は、ベクトル$\vert \psi \rangle$を次のように書き換えます

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

$\mathsf{Y}$の測定が結果$0$を与える確率は

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

この場合、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の状態は次のようになります

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

そして、測定結果が$1$である確率は

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

この場合、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の状態は次のようになります

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

縮約量子状態に関する注意

前の例は、量子情報の簡略化された記述の制限を示しています。つまり、確率的な場合のように、2つのシステムのうちの1つだけの（または任意の数のシステムの真部分集合の）縮約（または周辺）量子状態を記述する方法を提供しません。

具体的には、確率ベクトルによって記述される2つのシステム$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の確率状態

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

に対して、$\mathsf{X}$単独の縮約または周辺確率状態を次のように書くことができます

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

量子状態ベクトルの場合、これを行う類似の方法はありません。 特に、量子状態ベクトル

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

に対して、ベクトル

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

は一般に量子状態ベクトルではなく、縮約または周辺状態の概念を適切に表しません。

代わりにできることは、密度行列の概念に目を向けることです。これは量子情報の一般的な定式化コースで議論されます。 密度行列は、確率的設定に類似した縮約量子状態を定義する意味のある方法を提供します。

3つ以上のシステムの部分測定

3つ以上のシステムの部分測定では、システムの真部分集合が測定される場合、システムを2つのコレクション、測定されるものと測定されないものに分割することによって、2つのシステムの場合に還元できます。 これを行う方法を示す特定の例を次に示します。 これは、システムの名前でケットに添字を付けることが役立つ場合を具体的に示しています。この場合、システムの順列を記述する簡単な方法を提供するためです。

この例では、5つのシステム$(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0)$の5つ組の量子状態を考えます。ここで、これらの5つのシステムすべてが同じ古典状態集合$\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}$を共有します:

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

最初と3番目のシステムが測定され、残りのシステムは放置される状況を考えます。

概念的に言えば、この状況と2つのシステムの1つが測定される状況との間に根本的な違いはありません。 残念ながら、測定されたシステムは測定されていないシステムと点在しているため、これらの計算を実行するために必要な式を書き留める際に障害に直面します。

上記で示唆されたように、進める1つの方法は、ケットに添字を付けて、それらが参照するシステムを示すことです。 これにより、ケットの順序を並べ替えるときにシステムを追跡する方法が得られ、数学がより簡単になります。

まず、上記の量子状態ベクトルは、代わりに次のように書くことができます

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

各ケットが対応するシステムを示す添字を持つようになったことを除いて、何も変わっていません。 ここでは添字$0,\ldots,4$を使用しましたが、システム自体の名前も使用できます（たとえば、$\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$および$\mathsf{Z}$のようなシステム名がある状況で）。

これで、ケットを並べ替えて、次のように項をまとめることができます:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

テンソル積は、この例のように括弧が使用されている場合でも、暗黙的です。

ケットの並べ替えについて明確にするために、テンソル積は可換ではありません: $\vert \phi\rangle$と$\vert \pi \rangle$がベクトルである場合、一般に、$\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$は$\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle$とは異なり、3つ以上のベクトルのテンソル積についても同様です。 例えば、 $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ は、 $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ とは異なるベクトルです。 今行ったケットの並べ替えは、そうでないことを示唆するものとして解釈されるべきではありません。

むしろ、計算を実行するために、システムを$(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ではなく$(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$として一緒に収集する方が便利であるという決定を単に行っています。 ケットの添字は、これをすべて整理するのに役立ち、後で望む場合は元の順序に戻すことができます。

システム$\mathsf{X}_4$と$\mathsf{X}_2$が測定される場合、異なる結果の（ゼロ以外の）確率は次のとおりです:

• 測定結果$(\heartsuit,\diamondsuit)$は確率で発生します

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• 測定結果$(\diamondsuit,\diamondsuit)$は確率で発生します

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• 測定結果$(\spadesuit,\clubsuit)$は確率で発生します

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

測定結果が$(\heartsuit,\diamondsuit)$である場合、たとえば、5つのシステムの結果の状態は次のようになります

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

ここで、最終的な答えのために、これを行うことができることを示すために、システムの元の順序に戻しました。 他の可能な測定結果の場合、状態は同様の方法で決定できます。

最後に、以前に約束された2つの例を示します。GHZ状態から始めます

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

最初のシステムだけが測定される場合、確率$1/2$で結果$0$が得られ、この場合3つの量子ビットの状態は$\vert 000\rangle$になります。また、確率$1/2$で結果$1$が得られ、この場合3つの量子ビットの状態は$\vert 111\rangle$になります。

一方、W状態の場合、再び最初のシステムだけが測定されると仮定すると、この状態を次のように書くことから始めます:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

したがって、最初の量子ビットの測定が結果0をもたらす確率は次に等しくなります

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

そして、測定がこの結果を生成することを条件として、3つの量子ビットの量子状態は次のようになります

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

測定結果が1である確率は$1/3$であり、この場合、3つの量子ビットの状態は $\vert 100\rangle$になります。

W状態は対称的です。つまり、量子ビットを並べ替えても変化しません。 したがって、最初ではなく2番目または3番目の量子ビットを測定する場合も同様の記述が得られます。

ユニタリ演算

原理的には、行と列がシステムの古典状態に対応する任意のユニタリ行列は、そのシステムに対する有効な量子演算を表します。 これは、古典状態集合がたまたま個々のシステムの古典状態集合のデカルト積である複合システムに対しても当然真です。

2つのシステムに焦点を当てると、$\mathsf{X}$が古典状態集合$\Sigma$を持つシステムであり、$\mathsf{Y}$が古典状態集合$\Gamma$を持つシステムである場合、結合システム$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の古典状態集合は$\Sigma\times\Gamma$です。したがって、この結合システムに対する量子演算は、行と列が集合$\Sigma\times\Gamma$に対応して配置されたユニタリ行列によって表されます。 これらの行列の行と列の順序付けは、システム$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$の量子状態ベクトルに使用される順序付けと同じです。

例えば、$\Sigma = \{1,2,3\}$および$\Gamma = \{0,1\}$であるとし、デカルト積$\{1,2,3\}\times\{0,1\}$の要素を順序付けるための標準的な規則が次のとおりであることを思い出してください:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

これは、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$に対する演算を表すユニタリ行列の例です:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

このユニタリ行列は特別ではなく、単なる例です。 $U$がユニタリであることを確認するには、たとえば$U^{\dagger} U = \mathbb{I}$を計算して確認するだけで十分です。 あるいは、行（または列）が正規直交であることを確認できます。これは、行列$U$の特定の形式を考えると、この場合により簡単になります。

たとえば、標準基底ベクトル$\vert 1, 1 \rangle$に対する$U$のアクションは

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

集合$\{1,2,3\}\times\{0,1\}$の順序付けを考慮して、$U$の2列目を調べることでこれがわかります。

任意の行列と同様に、$U$をディラック表記法を使用して表現することは可能です。これには、$U$の20個のゼロ以外の要素に対して20項が必要です。 ただし、$6\times 6$行列を書くのではなく、これらすべての項を書き留めた場合、乱雑になり、行列式から明らかなパターンはおそらくそれほど明確ではありません。 簡単に言えば、ディラック表記法が常に最良の選択であるとは限りません。

3つ以上のシステムに対するユニタリ演算は同様の方法で機能し、ユニタリ行列の行と列はシステムの古典状態集合のデカルト積に対応します。 このレッスンでは既に1つの例を見ました: 3量子ビット演算

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

ここで、ブラとケットの数字はそれらの$3$ビットバイナリエンコーディングを意味します。 決定論的演算であることに加えて、これはユニタリ演算でもあります。 決定論的でユニタリである演算は、可逆演算と呼ばれます。 この行列の共役転置は次のように書くことができます:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

これは元の演算の逆、または数学用語で逆演算を表します。これは、ユニタリ行列の共役転置から期待されるものです。 レッスンが続くにつれて、複数システムに対するユニタリ演算の他の例を見ていきます。

個々のシステムに対して独立に実行されるユニタリ演算

ユニタリ演算が個々のシステムのコレクションに対して独立に実行される場合、これらの独立した演算の組み合わせアクションは、それらを表すユニタリ行列のテンソル積によって記述されます。 つまり、$\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$が量子システムであり、$U_0,\ldots, U_{n-1}$がこれらのシステムに対する演算を表すユニタリ行列であり、演算がシステムに対して独立に実行される場合、$(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$に対する組み合わせアクションは行列$U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0$によって表されます。 再び、この点で確率的設定と量子設定は類似していることがわかります。

前の段落を読むことから、任意のユニタリ行列のコレクションのテンソル積はユニタリであることが自然に期待されます。 実際、これは真実であり、次のように確認できます。

まず、共役転置演算が次を満たすことに注意してください

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

任意に選択された行列$M_0,\ldots,M_{n-1}$に対して。 これは、テンソル積と共役転置の定義に戻って、方程式の両辺の各要素が一致していることを確認することによって確認できます。 これは次を意味します

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

行列のテンソル積は乗法的であるため、次のことがわかります

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

ここで、$\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$を、システム$\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$に対する恒等演算を表す行列を参照するために書きました。これは、これらがシステム$\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$の古典状態の数と一致するサイズを持つ単位行列であることを意味します。

最後に、テンソル積$\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$は、行列$\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0$の行と列の数の積と一致する行と列の数を持つ単位行列に等しくなります。 このより大きな単位行列は、結合システム$(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$に対する恒等演算を表します。

要約すると、次の等式の列があります:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

したがって、$U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$はユニタリであると結論付けます。

しばしば発生する重要な状況は、ユニタリ演算がより大きな結合システム内の1つのシステム、またはシステムの真部分集合にのみ適用される状況です。 例えば、$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$が、単一の複合システム$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$を形成するものとして一緒に見ることができるシステムであり、システム$\mathsf{X}$だけに対して演算を実行するとします。 正確に言うと、$U$が$\mathsf{X}$に対する演算を表すユニタリ行列であるとしましょう。その行と列は$\mathsf{X}$の古典状態に対応して配置されています。

$U$によって表される演算をシステム$\mathsf{X}$だけに実行すると言うことは、$\mathsf{Y}$に対して何もしないことを意味します。つまり、$\mathsf{X}$に対して$U$を独立に実行し、$\mathsf{Y}$に対して恒等演算を実行します。 つまり、$\mathsf{Y}$に対して「何もしない」ことは、$\mathsf{Y}$に対して恒等演算を実行することと同等であり、これは単位行列$\mathbb{I}_\mathsf{Y}$によって表されます。 （ちなみに、ここで添字$\mathsf{Y}$は、$\mathbb{I}_\mathsf{Y}$が$\mathsf{Y}$の古典状態集合と一致する行と列の数を持つ単位行列を参照することを示しています。） $\mathsf{X}$に対して$U$を実行し、$\mathsf{Y}$に対して何もしないときに得られる$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$に対する演算は、したがって、ユニタリ行列によって表されます

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

例えば、$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$が量子ビットである場合、$\mathsf{X}$に対してアダマール演算を実行し、$\mathsf{Y}$に対して何もしないことは、演算を実行することと同等です

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

結合システム$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$に対して。

同様の線に沿って、ユニタリ行列$U$によって表される演算が$\mathsf{Y}$に適用され、$\mathsf{X}$に対して何もされない場合、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$に対する結果の演算はユニタリ行列によって表されます

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

例えば、$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$の両方が量子ビットであり、$U$がアダマール演算である状況を再び考えると、$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$に対する結果の演算は行列によって表されます

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

システムのコレクションに対するすべてのユニタリ演算が、このようなユニタリ演算のテンソル積として書けるわけではありません。これらのシステムのすべての量子状態ベクトルが積状態であるわけではないのと同じです。 例えば、2つの量子ビットに対するスワップ演算も制御NOT演算も、以下に説明するように、ユニタリ演算のテンソル積として表現することはできません。

スワップ演算

レッスンを終えるために、複数システムに対するユニタリ演算の2つのクラスの例を見てみましょう。スワップ演算から始めます。

$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$が同じ古典状態集合$\Sigma$を共有するシステムであるとします。 ペア$(\mathsf{X},\mathsf{Y})$に対するスワップ演算は、2つのシステムの内容を交換する演算ですが、それ以外ではシステムを放置します。したがって、$\mathsf{X}$は左に残り、$\mathsf{Y}$は右に残ります。 この演算を$\operatorname{SWAP}$と表し、古典状態$a,b\in\Sigma$のすべての選択に対して次のように動作します:

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

ディラック表記法を使用してこの演算に関連付けられた行列を書く1つの方法は次のとおりです:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

この行列が$\operatorname{SWAP}$を表すことはすぐには明らかではないかもしれませんが、古典状態$a,b\in\Sigma$のすべての選択に対して条件 $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$を満たすことを確認できます。 簡単な例として、$\mathsf{X}$と$\mathsf{Y}$が量子ビットである場合、次のことがわかります

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

制御ユニタリ演算

今、$\mathsf{Q}$が量子ビットであり、$\mathsf{R}$が任意のシステムであり、任意の古典状態集合を持っているとします。 システム$\mathsf{R}$に作用するすべてのユニタリ演算$U$に対して、制御-$U$演算は、ペア$(\mathsf{Q},\mathsf{R})$に対する次のように定義されるユニタリ演算です:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

例えば、$\mathsf{R}$も量子ビットであり、$\mathrm{R}$に対するパウリ$X$演算を考える場合、制御-$X$演算は次のようになります

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

この演算は、レッスンの前半で古典情報と確率演算の文脈で既に遭遇しました。 $\mathsf{R}$に対するパウリ$X$演算を$Z$演算に置き換えると、この演算が得られます:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

代わりに$\mathsf{R}$を2つの量子ビットとし、$U$をこれらの2つの量子ビット間のスワップ演算とすると、この演算が得られます:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

この演算はフレドキン演算、またはより一般的にはフレドキンゲートとしても知られています。 標準基底状態に対するそのアクションは次のように記述できます:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

最後に、制御-制御-NOT演算は、$CCX$と表すことができ、トフォリ演算またはトフォリゲートと呼ばれます。 その行列表現は次のようになります:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

ディラック表記法を使用して、代わりに次のように表現することもできます:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$