メインコンテンツへスキップ

期待値推定のための演算子逆伝播（OBP）

使用量の目安: Eagle r3プロセッサで16分（注意: これは目安です。実際の実行時間は異なる場合があります。）

# Added by doQumentation — installs packages not in the Binder environment
%pip install -q qiskit-addon-obp
# This cell is hidden from users;
# it disables linting rules.
# ruff: noqa

背景​

演算子逆伝播（Operator backpropagation）は、量子回路の末端にある演算を測定対象のオブザーバブルに吸収する技法であり、一般的にオブザーバブルの項数が増加する代わりに回路の深さを削減します。目標は、オブザーバブルが過度に大きくならないようにしながら、可能な限り多くの回路を逆伝播することです。Qiskitベースの実装はOBP Qiskitアドオンとして提供されており、詳細は対応するドキュメントを参照してください。また、入門用の簡単な例もあります。

オブザーバブル O=∑PcPPO = \sum_P c_P P を測定する回路の例を考えます。ここで PP はパウリ演算子、cPc_P は係数です。回路を単一のユニタリ UU として表し、下図に示すように U=UCUQU = U_C U_Q と論理的に分割できるものとします。

Circuit diagram showing Uq followed by Uc

演算子逆伝播は、ユニタリ UCU_C を O′=UC†OUC=∑PcPUC†PUCO' = U_C^{\dagger}OU_C = \sum_P c_P U_C^{\dagger}PU_C としてオブザーバブルを発展させることにより、UCU_C をオブザーバブルに吸収します。言い換えれば、計算の一部がオブザーバブルの OO から O′O' への発展を通じて古典的に実行されます。元の問題は、ユニタリが UQU_Q である新しい低深度回路に対してオブザーバブル O′O' を測定する問題として再定式化できます。

ユニタリ UCU_C は複数のスライス UC=USUS−1...U2U1U_C = U_S U_{S-1}...U_2U_1 として表されます。スライスの定義方法は複数あります。例えば、上記の回路例では、RzzR_{zz} の各層と RxR_x ゲートの各層をそれぞれ個別のスライスとみなすことができます。逆伝播は O′=Πs=1S∑PcPUs†PUsO' = \Pi_{s=1}^S \sum_P c_P U_s^{\dagger} P U_s を古典的に計算することです。各スライス UsU_s は Us=exp(−iθsPs2)U_s = exp(\frac{-i\theta_s P_s}{2}) と表すことができます。ここで PsP_s は nn 量子ビットパウリ演算子、θs\theta_s はスカラーです。以下が成り立つことは容易に確認できます。

Us†PUs=Pif [P,Ps]=0,U_s^{\dagger} P U_s = P \qquad \text{if} ~[P,P_s] = 0, Us†PUs=cos(θs)P+isin(θs)PsPif {P,Ps}=0U_s^{\dagger} P U_s = \qquad cos(\theta_s)P + i sin(\theta_s)P_sP \qquad \text{if} ~\{P,P_s\} = 0

上記の例において、{P,Ps}=0\{P,P_s\} = 0 の場合、期待値を計算するために1つではなく2つの量子回路を実行する必要があります。したがって、逆伝播によりオブザーバブルの項数が増加し、回路実行回数が増える可能性があります。オブザーバブルが過度に大きくなることを防ぎながら、回路のより深い部分まで逆伝播を可能にする方法の1つは、小さな係数を持つ項をオブザーバブルに追加するのではなく切り捨てることです。例えば、上記の例では、θs\theta_s が十分に小さい場合、PsPP_sP を含む項を切り捨てることを選択できます。項の切り捨てにより実行する量子回路の数を減らすことができますが、最終的な期待値の計算に切り捨てられた項の係数の大きさに比例した誤差が生じます。

このチュートリアルでは、qiskit-addon-obpを使用してハイゼンベルグスピン鎖の量子ダイナミクスをシミュレーションするためのQiskitパターンを実装します。

要件​

このチュートリアルを開始する前に、以下がインストールされていることを確認してください。

  • Qiskit SDK v1.2以降（pip install qiskit）
  • Qiskit Runtime v0.28以降（pip install qiskit-ibm-runtime）
  • OBP Qiskitアドオン（pip install qiskit-addon-obp）
  • Qiskitアドオンユーティリティ（pip install qiskit-addon-utils）

セットアップ​

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from qiskit.primitives import StatevectorEstimator as Estimator
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import CouplingMap
from qiskit.synthesis import LieTrotter

from qiskit_addon_utils.problem_generators import generate_xyz_hamiltonian
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    generate_time_evolution_circuit,
)
from qiskit_addon_utils.slicing import slice_by_gate_types, combine_slices
from qiskit_addon_obp.utils.simplify import OperatorBudget
from qiskit_addon_obp import backpropagate
from qiskit_addon_obp.utils.truncating import setup_budget

from rustworkx.visualization import graphviz_draw

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2, EstimatorOptions

パートI: 小規模ハイゼンベルグスピン鎖​

ステップ1: 古典的入力を量子問題にマッピングする​

量子ハイゼンベルグモデルの時間発展を量子実験にマッピングします。​

qiskit_addon_utilsパッケージは、さまざまな目的に利用可能な再利用可能な機能を提供します。

そのqiskit_addon_utils.problem_generatorsモジュールは、与えられた接続グラフ上でハイゼンベルグ型ハミルトニアンを生成する関数を提供します。 このグラフはrustworkx.PyGraphまたはCouplingMapのいずれかであり、Qiskit中心のワークフローで簡単に使用できます。

以下では、10量子ビットの線形チェーン CouplingMap を生成します。

num_qubits = 10
layout = [(i - 1, i) for i in range(1, num_qubits)]

# Instantiate a CouplingMap object
coupling_map = CouplingMap(layout)
graphviz_draw(coupling_map.graph, method="circo")

Output of the previous code cell

次に、ハイゼンベルグXYZハミルトニアンをモデル化するパウリ演算子を生成します。

H^XYZ=∑(j,k)∈E(Jxσjxσkx+Jyσjyσky+Jzσjzσkz)+∑j∈V(hxσjx+hyσjy+hzσjz){\hat{\mathcal{H}}_{XYZ} = \sum_{(j,k)\in E} (J_{x} \sigma_j^{x} \sigma_{k}^{x} + J_{y} \sigma_j^{y} \sigma_{k}^{y} + J_{z} \sigma_j^{z} \sigma_{k}^{z}) + \sum_{j\in V} (h_{x} \sigma_j^{x} + h_{y} \sigma_j^{y} + h_{z} \sigma_j^{z})}

ここで G(V,E)G(V,E) は提供されたカップリングマップのグラフです。

# Get a qubit operator describing the Heisenberg XYZ model
hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    coupling_map,
    coupling_constants=(np.pi / 8, np.pi / 4, np.pi / 2),
    ext_magnetic_field=(np.pi / 3, np.pi / 6, np.pi / 9),
)
print(hamiltonian)
SparsePauliOp(['IIIIIIIXXI', 'IIIIIIIYYI', 'IIIIIIIZZI', 'IIIIIXXIII', 'IIIIIYYIII', 'IIIIIZZIII', 'IIIXXIIIII', 'IIIYYIIIII', 'IIIZZIIIII', 'IXXIIIIIII', 'IYYIIIIIII', 'IZZIIIIIII', 'IIIIIIIIXX', 'IIIIIIIIYY', 'IIIIIIIIZZ', 'IIIIIIXXII', 'IIIIIIYYII', 'IIIIIIZZII', 'IIIIXXIIII', 'IIIIYYIIII', 'IIIIZZIIII', 'IIXXIIIIII', 'IIYYIIIIII', 'IIZZIIIIII', 'XXIIIIIIII', 'YYIIIIIIII', 'ZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIY', 'IIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIYI', 'IIIIIIIIZI', 'IIIIIIIXII', 'IIIIIIIYII', 'IIIIIIIZII', 'IIIIIIXIII', 'IIIIIIYIII', 'IIIIIIZIII', 'IIIIIXIIII', 'IIIIIYIIII', 'IIIIIZIIII', 'IIIIXIIIII', 'IIIIYIIIII', 'IIIIZIIIII', 'IIIXIIIIII', 'IIIYIIIIII', 'IIIZIIIIII', 'IIXIIIIIII', 'IIYIIIIIII', 'IIZIIIIIII', 'IXIIIIIIII', 'IYIIIIIIII', 'IZIIIIIIII', 'XIIIIIIIII', 'YIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j])

量子ビット演算子から、その時間発展をモデル化する量子回路を生成できます。 ここでも、qiskit_addon_utils.problem_generatorsモジュールがまさにそのための便利な関数を提供しています。

circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian,
    time=0.2,
    synthesis=LieTrotter(reps=2),
)
circuit.draw("mpl", style="iqp", scale=0.6)

Output of the previous code cell

ステップ2: 量子ハードウェア実行のための問題の最適化​

逆伝播するための回路スライスの作成​

backpropagate 関数は回路スライス全体を一度に逆伝播することを思い出してください。そのため、スライスの分割方法は、与えられた問題に対する逆伝播の性能に影響を与える可能性があります。ここでは、slice_by_gate_types関数を使用して、同じ種類のゲートをスライスにグループ化します。

回路スライシングの詳細については、qiskit-addon-utilsパッケージのハウツーガイドを参照してください。

slices = slice_by_gate_types(circuit)
print(f"Separated the circuit into {len(slices)} slices.")
Separated the circuit into 18 slices.

逆伝播中の演算子の大きさの制約​

逆伝播中、演算子の項数は一般的に急速に 4N4^N に近づきます。ここで NN は量子ビット数です。演算子内の2つの項が量子ビットごとに可換でない場合、それらに対応する期待値を得るために別々の回路が必要になります。例えば、2量子ビットのオブザーバブル O=0.1XX+0.3IZ−0.5IXO = 0.1 XX + 0.3 IZ - 0.5 IX がある場合、[XX,IX]=0[XX,IX] = 0 であるため、これら2つの項の期待値の計算には単一の基底での測定で十分です。しかし、IZIZ は他の2つの項と反可換です。そのため、IZIZ の期待値を計算するには別の基底での測定が必要です。つまり、⟨O⟩\langle O \rangle を計算するために1つではなく2つの回路が必要です。演算子の項数が増加すると、必要な回路実行回数も増加する可能性があります。

演算子の大きさは、backpropagate 関数の operator_budget キーワード引数を指定することで制限できます。この引数はOperatorBudgetインスタンスを受け取ります。

追加リソース（時間）の割り当て量を制御するために、逆伝播されたオブザーバブルが持つことのできる量子ビットごとに可換なパウリグループの最大数を制限します。ここでは、演算子内の量子ビットごとに可換なパウリグループの数が8を超えた場合に逆伝播を停止するように指定します。

op_budget = OperatorBudget(max_qwc_groups=8)

回路からのスライスの逆伝播​

まず、オブザーバブルを MZ=1N∑i=1N⟨Zi⟩M_Z = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \langle Z_i \rangle と指定します。ここで NN は量子ビット数です。時間発展回路からスライスを逆伝播し、オブザーバブルの項が8つ以下の量子ビットごとに可換なパウリグループにまとめられなくなるまで続けます。

observable = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1 / num_qubits) for i in range(num_qubits)],
    num_qubits=num_qubits,
)
observable
SparsePauliOp(['IIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIZI', 'IIIIIIIZII', 'IIIIIIZIII', 'IIIIIZIIII', 'IIIIZIIIII', 'IIIZIIIIII', 'IIZIIIIIII', 'IZIIIIIIII', 'ZIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j,
 0.1+0.j, 0.1+0.j])

以下に示すように、6つのスライスを逆伝播し、項は8つではなく6つのグループにまとめられました。これは、もう1つのスライスを逆伝播するとパウリグループの数が8を超えることを意味します。返されたメタデータを確認することでこれを検証できます。また、この部分では回路変換が厳密であることに注目してください。つまり、新しいオブザーバブル O′O' の項は一切切り捨てられていません。逆伝播された回路と逆伝播された演算子は、元の回路と演算子と正確に同じ結果を与えます。

# Backpropagate slices onto the observable
bp_obs, remaining_slices, metadata = backpropagate(
    observable, slices, operator_budget=op_budget
)
# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit = combine_slices(remaining_slices)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} groups."
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)
Backpropagated 6 slices.
New observable has 60 terms, which can be combined into 6 groups.
Note that backpropagating one more slice would result in 114 terms across 12 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

次に、出力オブザーバブルの大きさに対する同じ制約で同じ問題を指定します。ただし今回は、setup_budget関数を使用して各スライスに誤差バジェットを割り当てます。各スライスから小さな係数を持つパウリ項が誤差バジェットが満たされるまで切り捨てられ、余ったバジェットは次のスライスのバジェットに加算されます。この場合、演算子の一部の項が切り捨てられるため、逆伝播による変換は近似的であることに注意してください。

この切り捨てを有効にするには、以下のように誤差バジェットを設定する必要があります。

truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.005)

スライスあたり 5e-3 の切り捨て誤差を割り当てることで、元のオブザーバブルの8つの可換パウリグループというバジェット内に収まりながら、回路からさらに1つ多くのスライスを除去できることに注目してください。デフォルトでは、backpropagate は切り捨てられた係数のL1ノルムを使用して、切り捨てによる総誤差を上限で評価します。その他のオプションについては、p_normの指定に関するハウツーガイドを参照してください。

この特定の例では7つのスライスを逆伝播しているため、総切り捨て誤差は (5e-3 誤差/スライス) * (7 スライス) = 3.5e-2 を超えるべきではありません。 スライス間での誤差バジェットの分配に関する詳細は、このハウツーガイドを参照してください。

# Run the same experiment but truncate observable terms with small coefficients
bp_obs_trunc, remaining_slices_trunc, metadata = backpropagate(
    observable,
    slices,
    operator_budget=op_budget,
    truncation_error_budget=truncation_error_budget,
)

# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit_trunc = combine_slices(
    remaining_slices_trunc, include_barriers=False
)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs_trunc.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs_trunc.group_commuting(qubit_wise=True))} groups.\n"
    f"After truncation, the error in our observable is bounded by {metadata.accumulated_error(0):.3e}"
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit_trunc.draw("mpl", scale=0.6)
Backpropagated 7 slices.
New observable has 82 terms, which can be combined into 8 groups.
After truncation, the error in our observable is bounded by 3.266e-02
Note that backpropagating one more slice would result in 114 terms across 12 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

切り捨てにより、オブザーバブルの可換グループ数を増加させることなく、より深い逆伝播が可能になることに注目してください。

縮小されたアンザッツと拡張されたオブザーバブルが得られたので、実験をバックエンドにトランスパイルします。​

ここでは、QPUバックエンドへのトランスパイル方法を示すために、127量子ビットのIBM®量子コンピュータを使用します。

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
pm = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=1)

# Transpile original experiment
circuit_isa = pm.run(circuit)
observable_isa = observable.apply_layout(circuit_isa.layout)

# Transpile backpropagated experiment
bp_circuit_isa = pm.run(bp_circuit)
bp_obs_isa = bp_obs.apply_layout(bp_circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment with truncated observable terms
bp_circuit_trunc_isa = pm.run(bp_circuit_trunc)
bp_obs_trunc_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_trunc_isa.layout)

3つのケースそれぞれに対してPrimitive Unified Bloc (PUB)を作成します。

pub = (circuit_isa, observable_isa)
bp_pub = (bp_circuit_isa, bp_obs_isa)
bp_trunc_pub = (bp_circuit_trunc_isa, bp_obs_trunc_isa)

ステップ3: Qiskitプリミティブを使用した実行​

期待値の計算​

最後に、逆伝播された実験を実行し、ノイズのないStatevectorEstimatorを使用して完全な実験と比較します。

ideal_estimator = Estimator()

# Run the experiments using Estimator primitive to obtain the exact outcome
result_exact = (
    ideal_estimator.run([(circuit, observable)]).result()[0].data.evs.item()
)
print(f"Exact expectation value: {result_exact}")
Exact expectation value: 0.8871244838989416

この例ではresilience_level = 2を使用します。

options = EstimatorOptions()
options.default_precision = 0.011
options.resilience_level = 2

estimator = EstimatorV2(mode=backend, options=options)
job = estimator.run([pub, bp_pub, bp_trunc_pub])

ステップ4: 後処理と結果を目的の古典形式に変換​

result_no_bp = job.result()[0].data.evs.item()
result_bp = job.result()[1].data.evs.item()
result_bp_trunc = job.result()[2].data.evs.item()

std_no_bp = job.result()[0].data.stds.item()
std_bp = job.result()[1].data.stds.item()
std_bp_trunc = job.result()[2].data.stds.item()
print(
    f"Expectation value without backpropagation: {result_no_bp} ± {std_no_bp}"
)
print(f"Backpropagated expectation value: {result_bp} ± {std_bp}")
print(
    f"Backpropagated expectation value with truncation: {result_bp_trunc} ± {std_bp_trunc}"
)
Expectation value without backpropagation: 0.8033194665993642
Backpropagated expectation value: 0.8599808781259016
Backpropagated expectation value with truncation: 0.8868736004169483
methods = [
    "No backpropagation",
    "Backpropagation",
    "Backpropagation w/ truncation",
]
values = [result_no_bp, result_bp, result_bp_trunc]
stds = [std_no_bp, std_bp, std_bp_trunc]

ax = plt.gca()
plt.bar(methods, values, color="#a56eff", width=0.4, edgecolor="#8a3ffc")
plt.axhline(result_exact)
ax.set_ylim([0.6, 0.92])
plt.text(0.2, 0.895, "Exact result")
ax.set_ylabel(r"$M_Z$", fontsize=12)
Text(0, 0.5, '$M_Z$')

Output of the previous code cell

パートB: スケールアップ!​

ここでは、演算子逆伝播を使用して、50量子ビットのハイゼンベルクスピン鎖のハミルトニアンのダイナミクスを研究します。

ステップ1: 古典的な入力を量子問題にマッピングする​

スケールアップした問題では、小規模な例と同じJJおよびhh係数の値を持つ50量子ビットのハミルトニアンH^XYZ\hat{\mathcal{H}}_{XYZ}を考えます。観測量MZ=1N∑i=1N⟨Zi⟩M_Z = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \langle Z_i \rangleも以前と同じです。この問題は古典的なブルートフォースシミュレーションの範囲を超えています。

num_qubits = 50
layout = [(i - 1, i) for i in range(1, num_qubits)]

# Instantiate a CouplingMap object
coupling_map = CouplingMap(layout)
graphviz_draw(coupling_map.graph, method="circo")

Output of the previous code cell

hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    coupling_map,
    coupling_constants=(np.pi / 8, np.pi / 4, np.pi / 2),
    ext_magnetic_field=(np.pi / 3, np.pi / 6, np.pi / 9),
)
print(hamiltonian)
SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYY', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'YYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIY', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'YIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j])
observable = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1 / num_qubits) for i in range(num_qubits)],
    num_qubits,
)
observable
SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j])

このスケールアップした問題では、時間発展を0.20.2、トロッターステップ数を44として考えます。この問題は、古典的なブルートフォースシミュレーションの範囲を超えていますが、テンソルネットワーク法によるシミュレーションが可能なように選定されています。これにより、量子コンピュータ上で逆伝播を用いて得られた結果を理想的な結果と照合して検証することができます。

テンソルネットワークシミュレーションによって得られたこの問題の理想的な期待値は≃0.89\simeq 0.89です。

circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian,
    time=0.2,
    synthesis=LieTrotter(reps=4),
)
circuit.draw("mpl", style="iqp", fold=-1, scale=0.6)

Output of the previous code cell

ステップ2: 量子ハードウェア実行のために問題を最適化する​

slices = slice_by_gate_types(circuit)
print(f"Separated the circuit into {len(slices)} slices.")
Separated the circuit into 36 slices.

以前と同様にmax_error_per_sliceを0.005に設定します。ただし、この大規模問題ではスライス数が小規模問題よりもはるかに多いため、スライスあたり0.005の誤差を許容すると、全体の逆伝播誤差が大きくなる可能性があります。これを制限するためにmax_error_totalを指定して逆伝播の総誤差を上限で抑えることができます。ここではその値を0.03に設定します（これは小規模な例とほぼ同じ値です）。

この大規模な例では、可換グループ数の上限をより大きな値に設定し、15とします。

op_budget = OperatorBudget(max_qwc_groups=15)
truncation_error_budget = setup_budget(
    max_error_total=0.03, max_error_per_slice=0.005
)

まず、打ち切りを行わずに逆伝播された回路と観測量を取得しましょう。

bp_obs, remaining_slices, metadata = backpropagate(
    observable, slices, operator_budget=op_budget
)
bp_circuit = combine_slices(remaining_slices)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} groups."
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)
Backpropagated 7 slices.
New observable has 634 terms, which can be combined into 12 groups.
Note that backpropagating one more slice would result in 1246 terms across 27 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

次に、打ち切りを許容した場合の結果を確認します。

bp_obs_trunc, remaining_slices_trunc, metadata = backpropagate(
    observable,
    slices,
    operator_budget=op_budget,
    truncation_error_budget=truncation_error_budget,
)

# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit_trunc = combine_slices(
    remaining_slices_trunc, include_barriers=False
)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs_trunc.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs_trunc.group_commuting(qubit_wise=True))} groups.\n"
    f"After truncation, the error in our observable is bounded by {metadata.accumulated_error(0):.3e}"
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit_trunc.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)
Backpropagated 10 slices.
New observable has 646 terms, which can be combined into 14 groups.
After truncation, the error in our observable is bounded by 2.998e-02
Note that backpropagating one more slice would result in 1226 terms across 29 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

打ち切りを許容することで、さらに3つのスライスが逆伝播されることがわかります。トランスパイル後の元の回路、逆伝播された回路、および打ち切りを適用した逆伝播回路の2量子ビット深さを確認しましょう。

# Transpile original experiment
circuit_isa = pm.run(circuit)
observable_isa = observable.apply_layout(circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment
bp_circuit_isa = pm.run(bp_circuit)
bp_obs_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment with truncated observable terms
bp_circuit_trunc_isa = pm.run(bp_circuit_trunc)
bp_obs_trunc_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_trunc_isa.layout)
print(
    f"2-qubit depth of original circuit: {circuit_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)
print(
    f"2-qubit depth of backpropagated circuit: {bp_circuit_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)
print(
    f"2-qubit depth of backpropagated circuit with truncation: {bp_circuit_trunc_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)
2-qubit depth of original circuit: 48
2-qubit depth of backpropagated circuit: 40
2-qubit depth of backpropagated circuit with truncation: 36

ステップ3: Qiskitプリミティブを使用して実行する​

pubs = [
    (circuit_isa, observable_isa),
    (bp_circuit_isa, bp_obs_isa),
    (bp_circuit_trunc_isa, bp_obs_trunc_isa),
]
options = EstimatorOptions()
options.default_precision = 0.01
options.resilience_level = 2
options.resilience.zne.noise_factors = [1, 1.2, 1.4]
options.resilience.zne.extrapolator = ["linear"]

estimator = EstimatorV2(mode=backend, options=options)
job = estimator.run(pubs)

ステップ4: 後処理を行い、結果を目的の古典的形式に変換する​

result_no_bp = job.result()[0].data.evs.item()
result_bp = job.result()[1].data.evs.item()
result_bp_trunc = job.result()[2].data.evs.item()
print(f"Expectation value without backpropagation: {result_no_bp}")
print(f"Backpropagated expectation value: {result_bp}")
print(f"Backpropagated expectation value with truncation: {result_bp_trunc}")
Expectation value without backpropagation: 0.7887194658035515
Backpropagated expectation value: 0.9532818300978584
Backpropagated expectation value with truncation: 0.8913400398926913
methods = [
    "No backpropagation",
    "Backpropagation",
    "Backpropagation w/ truncation",
]
values = [result_no_bp, result_bp, result_bp_trunc]

ax = plt.gca()
plt.bar(methods, values, color="#a56eff", width=0.4, edgecolor="#8a3ffc")
plt.axhline(0.89)
ax.set_ylim([0.6, 0.98])
plt.text(0.2, 0.895, "Exact result")
ax.set_ylabel(r"$M_Z$", fontsize=12)
Text(0, 0.5, '$M_Z$')

Output of the previous code cell

チュートリアルアンケート​

このチュートリアルに関するフィードバックをお寄せいただくため、こちらの短いアンケートにご協力ください。皆様のご意見は、コンテンツの改善およびユーザー体験の向上に役立てさせていただきます。