その他の符号族

トーリック符号が発見されてから25年以上が経過し、その間に量子誤り訂正符号の研究は大きく進展しました。トーリック符号に着想を得た他のトポロジカル量子符号の発見や、全く異なるアイデアに基づく符号の開発など、多くの成果が生まれています。 既知の量子誤り訂正符号の構成手法を網羅的にリストアップすることはここでは不可能ですが、代表的な例をいくつか簡単に紹介します。

表面符号

実は、トーリック符号が周期的な境界を持つ必要はありません。 つまり、トーリック符号の一部を切り取り、トーラスではなく二次元平面上に展開しても、境界上の安定化演算子生成元を適切に定義すれば、量子誤り訂正符号を得ることができます。 こうして得られる符号を表面符号と呼びます。

例えば、以下は表面符号の図で、格子は上下が「粗い辺」、左右が「滑らかな辺」で切られています。 安定化演算子生成元の境界ケースは自然な方法で定義され、「欠落した」量子ビットに対するパウリ演算は単純に省略されます。

この形式の表面符号は、トーリック符号のように2量子ビットではなく、1つの論理量子ビットを符号化します。 この場合、安定化演算子生成元はそのまま最小生成元集合を形成するため、トーリック符号のようにそれぞれの型から1つを除く必要はありません。 しかし、これらの違いにもかかわらず、トーリック符号の重要な特性は引き継がれています。 特に、この符号における検出されない非自明な誤りは、左辺から右辺に伸びるエラーの連鎖（$X$エラーの連鎖の場合）または上から下に伸びるエラーの連鎖（$Z$エラーの連鎖の場合）に対応します。

また、表面符号の辺を斜めに切ることで、回転表面符号と呼ばれることのある符号を得ることもできます。この名称は符号自体が意味のある形で回転しているためではなく、図が（45度）回転しているためです。 例えば、以下は距離5の回転表面符号の図です。

この種の図では、黒いタイル（辺の丸みを帯びたものも含む）は$X$安定化演算子生成元を示しており、各タイルの頂点（2つまたは4つ）に$X$演算が適用されます。一方、白いタイルは$Z$安定化演算子生成元を表します。 回転表面符号は（非回転の）表面符号と同様の特性を持ちますが、使用する量子ビット数の観点からより効率的です。

カラー符号

カラー符号は、トポロジカル量子符号の一般的なカテゴリーに属するもう一つの興味深い符号のクラスです。 ここではごく簡単に説明します。

カラー符号を理解する一つの方法は、7量子ビットのスティーン符号の幾何学的な一般化として捉えることです。 これを念頭に置いて、7量子ビットのスティーン符号を再度考えてみましょう。7つの量子ビットをQiskitの番号付け規則に従って$(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0)$と名前付けして順序付けします。 この符号の安定化演算子生成元は以下の通りです。

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

これらの7つの量子ビットを以下のグラフの頂点に対応させると、安定化演算子生成元がグラフの辺によって形成される面と正確に一致することがわかります。

すなわち、各面に対して、その面の頂点に位置する量子ビットに非自明に作用する$Z$安定化演算子生成元と$X$安定化演算子生成元の両方が存在します。 したがって、7量子ビットのスティーン符号は幾何学的局所性を持ち、原理的には安定化演算子生成元を測定するために量子ビットを大きな距離にわたって移動させる必要はありません。 $Z$安定化演算子生成元と$X$安定化演算子生成元が常にまったく同じ量子ビットの集合に非自明に作用するという事実も、次のレッスンのテーマである耐故障量子計算に関連した理由から好都合です。

カラー符号は、この基本的なパターンを一般化した量子誤り訂正符号（より正確にはCSS符号）ですが、基礎となるグラフが異なる場合があります。 例えば、以下は19個の頂点を持つグラフで、これは有効な符号を定義します。 このグラフが定義する符号は、1つの量子ビットを19量子ビットに符号化し、距離5を持ちます（つまり、$[[19,1,5]]$安定化符号です）。

これは、規模が大きくなり興味深い構造を持つグラフの族を含む、多くの他のグラフでも行うことができます。

カラー符号がそのように名付けられた理由は、それらを定義するグラフに求められる条件の一つが、面を三彩色できること、つまり同じ色の面が辺を共有しないように各面に3色のうちの1色を割り当てられることであるためです（前図のように）。 色自体は符号の定義には実際には関係しません（各面には、その色に関わらず常に$Z$安定化演算子生成元と$X$安定化演算子生成元があります）が、符号の動作を分析する上で色は重要な役割を果たします。

その他の符号

量子誤り訂正は活発で急速に進歩している研究分野です。 より深く探求したい方は、Error Correction Zooを参照することをお勧めします。このサイトでは、量子誤り訂正符号の多数の例と分類が掲載されています。

例: グロス符号

グロス符号は最近発見された$[[144,12,12]]$安定化符号です。トーリック符号に似ていますが、各安定化演算子生成元がそのタイルや頂点からやや遠い位置にある追加の2量子ビットにも非自明に作用する点が異なります（各安定化演算子生成元の重みは6になります）。この符号の利点は、トーリック符号のわずか2量子ビットと比較して、12量子ビットを符号化できることです。