内積と射影

量子 Circuit の能力と限界をより深く探るための準備として、ここではいくつかの追加的な数学的概念を導入します。具体的には、ベクトル間の内積（およびユークリッドノルムとの関係）、ベクトルの集合に対する直交性と正規直交性の概念、そして射影行列です。射影行列を用いることで、標準基底測定の便利な一般化を導入することができます。

内積

Dirac 記法においては、任意の列ベクトルをケットとして次のように表します。

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

このとき、対応するブラベクトルはこのベクトルの共役転置です。

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

あるいは、古典的状態集合 $\Sigma$ を念頭に置き、列ベクトルをケットとして

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

と書いた場合、対応する行ベクトル（ブラベクトル）は共役転置

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

となります。

また、ブラベクトルとケットベクトルの積は、それぞれ 1 行または 1 列を持つ行列として見ると、スカラーになります。具体的に、2 つの列ベクトルが

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

であり、行ベクトル $\langle \psi \vert$ が式 $(1)$ の通りであるとすると、

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

あるいは、2 つの列ベクトルが

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

と書かれており、$\langle \psi \vert$ が行ベクトル $(2)$ である場合、次のようになります。

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

ここで、最後の等号は、古典的状態 $a$ と $b$ が $a\neq b$ を満たすとき $\langle a \vert a \rangle = 1$ かつ $\langle a \vert b \rangle = 0$ であるという観察から得られます。

値 $\langle \psi \vert \phi \rangle$ は、ベクトル $\vert \psi\rangle$ と $\vert \phi \rangle$ の間の内積と呼ばれます。内積は量子情報と計算において非常に重要であり、これなしに量子情報を数学的なレベルで理解することはできません。

ここで、ベクトルの内積に関するいくつかの基本的な性質をまとめます。

1. ユークリッドノルムとの関係。 任意のベクトル

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   とそれ自身との内積は

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2$$

   となります。したがって、ベクトルのユークリッドノルムは次のようにも表せます。

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   ベクトルのユークリッドノルムは常に非負の実数であることに注意してください。また、ベクトルのユークリッドノルムがゼロになるのは、すべての成分がゼロである場合、すなわちそのベクトルがゼロベクトルである場合に限られます。

   これらの観察をまとめると、すべてのベクトル $\vert \psi \rangle$ に対して

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   が成り立ち、$\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ となるのは $\vert \psi \rangle = 0$ のときに限ります。この内積の性質は正定値性と呼ばれることがあります。

2. 共役対称性。 任意の 2 つのベクトル

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   に対して、

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   が成り立ち、したがって

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

   となります。

3. 第 2 引数に関する線形性（および第 1 引数に関する共役線形性）。 $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ $\vert \phi_2 \rangle$ をベクトルとし、$\alpha_1$ と $\alpha_2$ を複素数とします。新しいベクトルを

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   と定義すると、

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   となります。すなわち、内積は第 2 引数に関して_線形_です。これは上記の公式から確認できますし、行列の積が各引数（特に第 2 引数）に関して線形であることを注意するだけでも確認できます。

   この事実を共役対称性と組み合わせると、内積が第 1 引数に関して_共役線形_であることがわかります。すなわち、$\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ $\vert \phi \rangle$ をベクトルとし、$\alpha_1$ と $\alpha_2$ を複素数とし、

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   と定義すると、

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

   となります。

4. コーシー–シュワルツ不等式。 同じ数の成分を持つ任意のベクトル $\vert \phi \rangle$ と $\vert \psi \rangle$ に対して、

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   これは量子情報（およびその他多くの研究分野）で非常に広く使われる便利な不等式です。

直交集合と正規直交集合

2 つのベクトル $\vert \phi \rangle$ と $\vert \psi \rangle$ は、その内積がゼロである場合に直交すると言います。

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

幾何学的には、直交するベクトルとは互いに直角をなすベクトルとして考えることができます。

ベクトルの集合 $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ は、集合内のすべてのベクトルが他のすべてのベクトルと直交している場合に直交集合と呼ばれます。すなわち、$j\neq k$ を満たすすべての $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ の選択に対して

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

が成り立つとき、この集合は直交集合です。

ベクトルの集合 $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ は、それが直交集合であり、かつ集合内のすべてのベクトルが単位ベクトルである場合に正規直交集合と呼ばれます。あるいは、すべての $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ の選択に対して

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

が成り立つとき、この集合は正規直交集合です。

最後に、集合 $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ が正規直交集合であり、かつ基底を形成する場合に正規直交基底と呼ばれます。これは、$\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ が正規直交集合であり、かつ $m$ が $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ が属する空間の次元と等しいことと同値です。

例えば、任意の古典的状態集合 $\Sigma$ に対して、すべての標準基底ベクトルの集合

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

は正規直交基底です。集合 $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ は 1 つの Qubit に対応する $2$ 次元空間の正規直交基底であり、ベル基底 $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ は 2 つの Qubit に対応する $4$ 次元空間の正規直交基底です。

正規直交集合から正規直交基底への拡張

$\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ が $n$ 次元空間内のベクトルであり、$\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ が正規直交集合であると仮定します。正規直交集合は常に線形独立な集合であるため、これらのベクトルは必然的に次元 $m$ の部分空間を張ります。このことから $m\leq n$ が結論されます。なぜなら、これらのベクトルが張る部分空間の次元は、それらが属する全空間の次元より大きくなれないからです。

$m<n$ である場合、追加の $n-m$ 個のベクトル $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ を選んで $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ が正規直交基底を形成するようにすることが常に可能です。グラム–シュミット直交化法と呼ばれる手続きを使って、これらのベクトルを構成できます。

正規直交集合とユニタリ行列

正規直交ベクトルの集合はユニタリ行列と密接に関連しています。この関連性を表す一つの方法として、任意の正方行列 $U$ に対して以下の 3 つの命題が論理的に同値である（すなわち、すべて真かすべて偽である）と言えます。

1. 行列 $U$ はユニタリである（すなわち $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$）。
2. $U$ の行が正規直交集合を形成する。
3. $U$ の列が正規直交集合を形成する。

この同値性は、行列の積と共役転置の働きを考えると実際にはかなり明白です。例えば、次のような $3\times 3$ 行列があるとします。

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

$U$ の共役転置は次のようになります。

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

共役転置を左辺に置いてこれら 2 つの行列を掛け合わせると、次の行列が得られます。

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$U$ の列から 3 つのベクトルを作ると、

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

となり、上記の積を次のように表すことができます。

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

式 $(3)$ を参照すると、この行列が単位行列に等しい条件は、集合 $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$ の正規直交性と同値であることがわかります。

この議論は任意のサイズのユニタリ行列に一般化できます。行列の行が正規直交基底を形成することと行列がユニタリであることの同値性は、行列がユニタリであることとその転置がユニタリであることが同値であるという事実から導かれます。

上記の同値性と、すべての正規直交集合が正規直交基底に拡張できるという事実から、次の有用な事実が結論されます。$n$ 次元空間から取り出した任意の正規直交ベクトルの集合 $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ に対して、最初の $m$ 列がベクトル $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ であるようなユニタリ行列 $U$ が存在します。図示すると、常に次の形のユニタリ行列を見つけることができます。

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

ここで、最後の $n-m$ 列には、$\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ が正規直交基底を形成するようなベクトル $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ の任意の選択が入ります。

射影と射影測定

射影行列

正方行列 $\Pi$ は次の 2 つの性質を満たすとき射影と呼ばれます。

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}.$
2. $\Pi^2 = \Pi.$

第 1 の条件、すなわち自身の共役転置に等しい行列はエルミート行列と呼ばれ、第 2 の条件、すなわち自乗しても変化しない行列はべき等行列と呼ばれます。

注意点として、射影という言葉は第 2 の条件のみを満たし第 1 の条件を必ずしも満たさない行列を指すために使われることもあり、その場合、両方の条件を満たす行列を直交射影と呼ぶのが一般的です。しかし、量子情報と計算の文脈では、射影および射影行列という用語は両方の条件を満たす行列を指すことがより一般的です。

射影の例として、任意の単位ベクトル $\vert \psi\rangle$ に対する行列

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

があります。この行列がエルミートであることは次のように確認できます。

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

ここで、第 2 の等号を得るために、任意の 2 つの行列 $A$ と $B$（積 $AB$ が定義できる場合）に対して常に成り立つ公式

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

を使用しています。

$(4)$ の行列 $\Pi$ がべき等であることを確認するには、$\vert\psi\rangle$ が単位ベクトルであるという仮定、すなわち $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$ を満たすという仮定を使います。したがって、

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

となります。

より一般に、$\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ が任意の正規直交ベクトルの集合であれば、行列

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

は射影です。具体的には、

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

および

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

となります。ここで $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ の正規直交性が最後から 2 番目の等号を導きます。

実際、これですべての可能性が尽くされます。あらゆる射影 $\Pi$ は、ある正規直交集合 $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ の選択に対して $(5)$ の形式で書くことができます。（技術的には、射影であるゼロ行列 $\Pi=0$ は特殊なケースです。これを一般形式 $(5)$ に当てはめるには、和が空である可能性を許容する必要があり、その結果ゼロ行列になります。）

射影測定

量子系の測定の概念は、標準基底測定だけに限りません。 射影測定とは、和が恒等行列に等しい射影の集合によって記述される測定のことです。 記号で表すと、射影行列の集合 $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ が

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}$$

を満たすとき、射影測定を記述していると言います。

系 $\mathsf{X}$ がある状態 $\vert\psi\rangle$ にあるときにこのような測定を行うと、次の2つのことが起こります。

1. 各 $k\in\{0,\ldots,m-1\}$ に対して、測定の結果が $k$ となる確率は

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2$$

   で与えられます。

2. 測定によって結果 $k$ が得られた場合、$\mathsf{X}$ の状態は

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}$$

   になります。

射影測定の結果として $\{0,\ldots,m-1\}$ 以外の値を選ぶこともできます。 より一般的に、任意の有限かつ空でない集合 $\Sigma$ に対して、

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

という射影行列の集合が条件

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I}$$

を満たすとき、この集合は可能な結果が集合 $\Sigma$ と一致する射影測定を記述します。規則は先ほどと同様です。

1. 各 $a\in\Sigma$ に対して、測定の結果が $a$ となる確率は

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2$$

   で与えられます。

2. 測定によって結果 $a$ が得られた場合、$\mathsf{X}$ の状態は

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}$$

   になります。

例えば、標準基底測定は射影測定と等価です。この場合、$\Sigma$ は系 $\mathsf{X}$ の古典的状態の集合であり、射影行列の集合は $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$ となります。

射影測定のもう一つの例として、2つの Qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ に対する集合 $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ があります。ここで

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert$$

です。

複数の系が共同して何らかの量子状態にあり、そのうちの1つの系だけに射影測定が行われる場合、その作用は標準基底測定の場合と同様です。実際、今では以前よりもはるかに簡単な形でこの作用を記述できます。

具体的に述べると、2つの系 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ が量子状態 $\vert\psi\rangle$ にあり、系 $\mathsf{X}$ に対して集合 $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ で記述される射影測定が行われ、$\mathsf{Y}$ には何も行われない場合を考えます。 これは、集合

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

で記述される射影測定を複合系 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ に対して行うことと等価です。 各測定結果 $a$ が得られる確率は

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2$$

であり、結果 $a$ が得られた場合、複合系 $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ の状態は

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}$$

になります。

射影測定の実装

任意の射影測定は、ユニタリ演算、標準基底測定、および追加のワークスペース系を使って実装することができます。以下でその方法を説明します。

系 $\mathsf{X}$ と $\mathsf{X}$ 上の射影測定 $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ があるとします。異なる結果の集合を持つ射影測定への一般化は容易ですが、簡便さのため、測定の可能な結果の集合を $\{0,\ldots,m-1\}$ と仮定します。

$m$ は必ずしも $\mathsf{X}$ の古典的状態の数と等しくないことを明示しておきます。$\mathsf{X}$ の古典的状態の数を $n$ とすると、各行列 $\Pi_k$ は $n\times n$ の射影行列になります。

$\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ が射影測定を表すという仮定から、必然的に

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n$$

が成り立ちます。

目標は、ユニタリ演算と標準基底測定のみを使って、$\mathsf{X}$ に対してこの射影測定を行うのと同じ効果を持つプロセスを実行することです。

このために追加のワークスペース系 $\mathsf{Y}$ を使います。特に、$\mathsf{Y}$ の古典的状態の集合を射影測定の結果の集合と同じ $\{0,\ldots,m-1\}$ とします。 発想は、$\mathsf{Y}$ に対して標準基底測定を行い、その結果を $\mathsf{X}$ に対する射影測定の結果として解釈することです。 $\mathsf{Y}$ はある固定された状態に初期化されている必要があり、ここでは $\vert 0\rangle$ を選びます。 （他の固定量子状態ベクトルを選んでも機能しますが、$\vert 0\rangle$ を選ぶと以下の説明がはるかに簡単になります。）

もちろん、$\mathsf{Y}$ の標準基底測定が $\mathsf{X}$ について何かを教えてくれるようにするためには、$\mathsf{Y}$ を測定する前に複合系 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ にユニタリ演算を適用することで $\mathsf{X}$ と $\mathsf{Y}$ を何らかの形で相互作用させる必要があります。 まず次の行列を考えます。

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

ブロック行列として明示的に表すと（これは行列の行列であり、1つの大きな行列として解釈されます）、$M$ は次のようになります。

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

ここで各 $0$ は $n\times n$ のゼロ行列を表し、行列全体 $M$ は $nm\times nm$ 行列になります。

さて、$M$ は明らかにユニタリ行列ではありません（$m=1$ の場合は例外で、この自明なケースでは $\Pi_0 = \mathbb{I}$ となり $M = \mathbb{I}$ です）。ユニタリ行列はすべてゼロの列（または行）を持てないからです。ユニタリ行列の列は正規直交基底を形成しますが、ゼロベクトルは単位ベクトルではありません。

しかし、$M$ の最初の $n$ 列は正規直交であり、これは $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ が測定であるという仮定から導かれます。 この主張を確認するために、各 $j\in\{0,\ldots,n-1\}$ に対して、$M$ の $j$ 番目の列から成るベクトルが次のようになることに注目します。

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

ここでは列の番号付けを $0$ から始めています。$i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ の場合に $i$ 列目と $j$ 列目の内積を計算すると

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

となり、示すべきことが確認されます。

したがって、行列 $M$ の最初の $n$ 列が正規直交であることから、残りのゼロ成分をある複素数成分に置き換えることで、行列全体をユニタリにすることができます。

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

行列 $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$ が与えられれば、$\fbox{?}$ とマークされたブロックに入れる適切な行列をグラム–シュミット法を用いて計算できますが、この議論においてこれらの行列が具体的に何であるかは重要ではありません。

最後に測定プロセスを記述します。複合系 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ に $U$ を適用し、その後 $\mathsf{Y}$ に対して標準基底測定を行います。 $\mathsf{X}$ の任意の状態 $\vert \phi \rangle$ に対して、

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle$$

という状態が得られます。ここで最初の等号は、$U$ と $M$ が最初の $n$ 列で一致するという事実から導かれます。 $\mathsf{Y}$ に対して標準基底測定を行うと、各結果 $k$ が得られる確率は

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2$$

であり、その場合 $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ の状態は

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}$$

になります。

したがって、$\mathsf{Y}$ は測定結果のコピーを保存し、$\mathsf{X}$ は $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ で記述される射影測定が $\mathsf{X}$ に直接行われた場合とまったく同じように変化します。