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このコースでは、変分アルゴリズム、および量子力学の変分定理に基づく近期ハイブリッド量子古典アルゴリズムの詳細を学びます。これらのアルゴリズムは、現在の非フォールトトレラント量子コンピューターが提供するユーティリティを活用できるため、量子アドバンテージ を実現する有力な候補となっています。
このコースを通じて、以下の内容を探求します。
このコースは、量子コンピューターのユーティリティを探求する研究者や開発者の出発点として設計されていますが、量子コンピューティング全般の理論的・基礎的な知識については、量子情報と計算の基礎 （YouTube 動画シリーズ としても公開中）でもご覧いただけます。
シンプルなハイブリッドワークフロー
変分アルゴリズムには、アルゴリズム・ソフトウェア・ハードウェアの進歩に合わせて組み合わせや最適化が可能な、複数のモジュール型コンポーネントが含まれています。具体的には、パラメーターのセットで特定の問題を記述するコスト関数 、これらのパラメーターで探索空間を表現するansatz 、そして探索空間を反復的に探索するオプティマイザー が含まれます。各反復において、オプティマイザーは現在のパラメーターでコスト関数 を評価し、最適解に収束 するまで次の反復のパラメーターを選択します。このアルゴリズム群のハイブリッドな性質は、コスト関数を量子リソースで評価し、古典的なリソースで最適化するという点にあります。
問題の初期化 : 変分アルゴリズムは、量子コンピューターをデフォルト状態 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0 ⟩ ∣ ρ ⟩ |\rho\rangle ∣ ρ ⟩ 参照状態 と呼びます）に変換します。
この変換は、ユニタリ参照演算子 U R U_R U R U R ∣ 0 ⟩ = ∣ ρ ⟩ U_R|0\rangle = |\rho\rangle U R ∣0 ⟩ = ∣ ρ ⟩
ansatz の準備 : デフォルト状態 ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0 ⟩ ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ |\psi(\vec\theta)\rangle ∣ ψ ( θ )⟩ 変分形式 U V ( θ ⃗ ) U_V(\vec\theta) U V ( θ )
参照状態と変分形式の特定の組み合わせを ansatz と呼び、U A ( θ ⃗ ) : = U V ( θ ⃗ ) U R U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R U A ( θ ) := U V ( θ ) U R ∣ 0 ⟩ |0\rangle ∣0 ⟩ ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ |\psi(\vec\theta)\rangle ∣ ψ ( θ )⟩
まとめると、以下のようになります:
∣ 0 ⟩ → U R U R ∣ 0 ⟩ = ∣ ρ ⟩ → U V ( θ ⃗ ) U A ( θ ⃗ ) ∣ 0 ⟩ = U V ( θ ⃗ ) U R ∣ 0 ⟩ = U V ( θ ⃗ ) ∣ ρ ⟩ = ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ \begin{aligned}
|0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle
& = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm]
& = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm]
& = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm]
& = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm]
\end{aligned} ∣0 ⟩ U R U R ∣0 ⟩ = ∣ ρ ⟩ U V ( θ ) U A ( θ ) ∣0 ⟩ = U V ( θ ) U R ∣0 ⟩ = U V ( θ ) ∣ ρ ⟩ = ∣ ψ ( θ )⟩
コスト関数の評価 : 問題をパウリ演算子の線形結合として表現したコスト関数 C ( θ ⃗ ) C(\vec\theta) C ( θ )
パラメーターの最適化 : 評価結 果は古典コンピューターに送られ、古典オプティマイザーがそれらを分析して次の変分パラメーターの値セットを選択します。事前に最適解がある場合、それを初期点 θ ⃗ 0 \vec\theta_0 θ 0 ブートストラップ することができます。この初期状態 ∣ ψ ( θ ⃗ 0 ) ⟩ |\psi(\vec\theta_0)\rangle ∣ ψ ( θ 0 )⟩
結果に基づき ansatz パラメーターを調整して再実行 : 古典オプティマイザーの終了基準が満たされるまでこのプロセス全体が繰り返され、最適なパラメーター値のセット θ ⃗ ∗ \vec\theta^* θ ∗ ∣ ψ ( θ ⃗ ∗ ) ⟩ = U A ( θ ⃗ ∗ ) ∣ 0 ⟩ |\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle ∣ ψ ( θ ∗ )⟩ = U A ( θ ∗ ) ∣0 ⟩
変分定理
変分アルゴリズムの一般的な目標は、特定の観測量の最小または最大固有値を持つ量子状態を見つけることです。ここで活用する重要な洞察が、量子力学の変分定理 です。その完全な定式化に入る前に、背景にある数学的な直感を探ってみましょう。
エネルギーと基底状態の数学的直感
量子力学において、エネルギーは通常ハミルトニアン と呼ばれる量子観測量の形で現れ、H ^ \hat{\mathcal{H}} H ^ スペクトル分解 を考えます:
H ^ = ∑ k = 0 N − 1 λ k ∣ ϕ k ⟩ ⟨ ϕ k ∣ \hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k| H ^ = k = 0 ∑ N − 1 λ k ∣ ϕ k ⟩ ⟨ ϕ k ∣ ここで、N N N λ k \lambda_{k} λ k k k k k k k ∣ ϕ k ⟩ |\phi_k\rangle ∣ ϕ k ⟩ 固有状態 : H ^ ∣ ϕ k ⟩ = λ k ∣ ϕ k ⟩ \hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle H ^ ∣ ϕ k ⟩ = λ k ∣ ϕ k ⟩ ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩
⟨ ψ ∣ H ^ ∣ ψ ⟩ = ⟨ ψ ∣ ( ∑ k = 0 N − 1 λ k ∣ ϕ k ⟩ ⟨ ϕ k ∣ ) ∣ ψ ⟩ = ∑ k = 0 N − 1 λ k ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ⟨ ϕ k ∣ ψ ⟩ = ∑ k = 0 N − 1 λ k ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 \begin{aligned}
\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle
& = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm]
& = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm]
& = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm]
\end{aligned} ⟨ ψ ∣ H ^ ∣ ψ ⟩ = ⟨ ψ ∣ ( k = 0 ∑ N − 1 λ k ∣ ϕ k ⟩ ⟨ ϕ k ∣ ) ∣ ψ ⟩ = k = 0 ∑ N − 1 λ k ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ⟨ ϕ k ∣ ψ ⟩ = k = 0 ∑ N − 1 λ k ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 λ 0 ≤ λ k , ∀ k \lambda_0\leq \lambda_k, \forall k λ 0 ≤ λ k , ∀ k
⟨ ψ ∣ H ^ ∣ ψ ⟩ = ∑ k = 0 N − 1 λ k ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 ≥ ∑ k = 0 N − 1 λ 0 ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 = λ 0 ∑ k = 0 N − 1 ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 = λ 0 \begin{aligned}
\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle
& = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm]
& \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm]
& = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm]
& = \lambda_0 \\[1mm]
\end{aligned} ⟨ ψ ∣ H ^ ∣ ψ ⟩ = k = 0 ∑ N − 1 λ k ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 ≥ k = 0 ∑ N − 1 λ 0 ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 = λ 0 k = 0 ∑ N − 1 ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 = λ 0 { ∣ ϕ k ⟩ } k = 0 N − 1 \{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1} { ∣ ϕ k ⟩ } k = 0 N − 1 ∣ ϕ k ⟩ |\phi_{k} \rangle ∣ ϕ k ⟩ p k = ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2 p k = ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 ∑ k = 0 N − 1 ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 = ∑ k = 0 N − 1 p k = 1 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1 ∑ k = 0 N − 1 ∣ ⟨ ψ ∣ ϕ k ⟩ ∣ 2 = ∑ k = 0 N − 1 p k = 1
⟨ ψ ∣ H ^ ∣ ψ ⟩ ≥ λ 0 . \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0. ⟨ ψ ∣ H ^ ∣ ψ ⟩ ≥ λ 0 . 上記の議論は任意の有効な（正規化された）量子状態 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩ θ ⃗ \vec\theta θ ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ |\psi(\vec\theta)\rangle ∣ ψ ( θ )⟩ C ( θ ⃗ ) : = ⟨ ψ ( θ ⃗ ) ∣ H ^ ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle C ( θ ) := ⟨ ψ ( θ ) ∣ H ^ ∣ ψ ( θ )⟩
min θ ⃗ C ( θ ⃗ ) = min θ ⃗ ⟨ ψ ( θ ⃗ ) ∣ H ^ ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ ≥ λ 0 . \min_{\vec\theta} C(\vec\theta) =
\min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0. θ min C ( θ ) = θ min ⟨ ψ ( θ ) ∣ H ^ ∣ ψ ( θ )⟩ ≥ λ 0 . C ( θ ⃗ ) C(\vec\theta) C ( θ ) ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ |\psi(\vec\theta)\rangle ∣ ψ ( θ )⟩ λ 0 \lambda_0 λ 0 ∣ ψ ( θ ⃗ ∗ ) ⟩ = ∣ ϕ 0 ⟩ |\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle ∣ ψ ( θ ∗ )⟩ = ∣ ϕ 0 ⟩ θ ⃗ ∗ \vec\theta^* θ ∗
量子力学の変分定理
量子系の（正規化された）状態 ∣ ψ ⟩ |\psi\rangle ∣ ψ ⟩ θ ⃗ \vec\theta θ λ 0 \lambda_0 λ 0 ∣ ϕ 0 ⟩ |\phi_0\rangle ∣ ϕ 0 ⟩ H ^ \hat{\mathcal{H}} H ^ 期待値 を最小化するものです:
⟨ H ^ ⟩ ( θ ⃗ ) : = ⟨ ψ ( θ ⃗ ) ∣ H ^ ∣ ψ ( θ ⃗ ) ⟩ ≥ λ 0 \langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) :=
\langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq
\lambda_0 ⟨ H ^ ⟩ ( θ ) := ⟨ ψ ( θ ) ∣ H ^ ∣ ψ ( θ )⟩ ≥ λ 0 変分定理がエネルギーの最小値で述べられている理由は、いくつかの数学的仮定が含まれているためです:
物理的な理由から、エネルギーに有限の下限 E ≥ λ 0 > − ∞ E \geq \lambda_0 > -\infty E ≥ λ 0 > − ∞ N → ∞ N\rightarrow\infty N → ∞
上限は一般に存在しません。
ただし、数学的に言えば、これらの仮定を超えてハミルトニアン H ^ \hat{\mathcal{H}} H ^
まとめ
このレッスンでは、変分アルゴリズムの概要を学びました。以降のレッスンでは、各ステップとそれに伴うトレードオフについて詳しく探求していきます。
