位相推定問題

このレッスンのセクションでは、位相推定問題について説明します。まず線形代数のスペクトル定理について簡単に説明し、その後、位相推定問題そのものの定式化に進みます。

スペクトル定理

スペクトル定理は線形代数における重要な定理であり、正規行列と呼ばれる特定の種類の行列が、シンプルかつ有用な形で表現できることを述べています。このレッスンでは、ユニタリ行列に対してのみこの定理を使用しますが、シリーズのこの後の部分ではエルミート行列にも適用します。

正規行列

複素数を成分とする正方行列 $M$ が、その共役転置と可換であるとき、すなわち $M M^{\dagger} = M^{\dagger} M$ のとき、正規行列と呼ばれます。

すべてのユニタリー行列 $U$ は正規行列です。なぜなら

U U^{\dagger} = \mathbb{I} = U^{\dagger} U.

エルミート行列、すなわち自身の共役転置と等しい行列は、もう一つの重要な正規行列のクラスです。 $H$ がエルミート行列であるとき

H H^{\dagger} = H^2 = H^{\dagger} H,

so $H$ is normal.

すべての正方行列が正規行列というわけではありません。例えば、この行列は正規行列ではありません。

\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

（これは、考えてみると非常に役立つことが多い、シンプルながらも優れた例です。）これが正規行列でない理由は

\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}^{\dagger} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

while

\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

定理の主張

以下にスペクトル定理の主張を示します。

定理

スペクトル定理： $M$ を正規な $N\times N$ 複素行列とします。 $N$ 次元複素ベクトルの正規直交基底 $\bigl\{ \vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_N\rangle \bigr\}$ と複素数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ が存在して、

M = \lambda_1 \vert \psi_1\rangle\langle \psi_1\vert + \cdots + \lambda_N \vert \psi_N\rangle\langle \psi_N\vert.

が成り立ちます。

行列を

M = \sum_{k = 1}^N \lambda_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k\vert \tag{1}

の形で表現することは、一般にスペクトル分解と呼ばれます。正規行列 $M$ が $(1)$ の形で表されているとき、すべての $j = 1,\ldots,N$ に対して

M \vert \psi_j \rangle = \lambda_j \vert \psi_j \rangle

が成り立たなければなりません。これは $\bigl\{ \vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_N\rangle \bigr\}$ が正規直交系であるという事実から導かれます：

M \vert \psi_j \rangle = \left(\sum_{k = 1}^N \lambda_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k\vert\right)\vert \psi_j\rangle = \sum_{k = 1}^N \lambda_k \vert \psi_k\rangle\langle \psi_k\vert\psi_j \rangle = \lambda_j \vert\psi_j \rangle

つまり、各数 $\lambda_j$ は $M$ の固有値であり、 $\vert\psi_j\rangle$ はその固有値に対応する固有ベクトルです。

例1。次を考えます。
$\mathbb{I} = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix},$
これは正規行列です。定理より、 $\mathbb{I}$ はある $\lambda_1,$ $\lambda_2,$ $\vert\psi_1\rangle,$ $\vert\psi_2\rangle$ の選択のもとで $(1)$ の形に書けます。有効な選択肢は複数あり、その一つは
$\lambda_1 = 1, \hspace{5pt} \lambda_2 = 1, \hspace{5pt} \vert\psi_1\rangle = \vert 0\rangle, \hspace{5pt} \vert\psi_2\rangle = \vert 1\rangle.$
この定理は、複素数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ が互いに異なることを主張しているわけではないことに注意してください——同じ複素数が繰り返し現れることもあり、この例ではそれが必要です。これらの選択がうまくいくのは、次が成り立つからです。
$\mathbb{I} = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert.$
実際、 $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle\}$ として任意の正規直交基底を選んでもこの式は成り立ちます。例えば
$\mathbb{I} = \vert +\rangle\langle +\vert + \vert -\rangle\langle -\vert.$
例2。アダマール演算を考えます。
$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & -1 \end{pmatrix}$
これはユニタリー行列なので正規行列です。スペクトル定理より、 $H$ は形 $(1)$ で書くことができ、特に次が成り立ちます。
$H = \vert\psi_{\pi/8}\rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert - \vert\psi_{5\pi/8}\rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$
where
$\vert\psi_{\theta}\rangle = \cos(\theta)\vert 0\rangle + \sin(\theta) \vert 1\rangle.$
この分解が正しいことは、必要な計算を実行することで確認できます：
$\begin{aligned} \vert\psi_{\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle, \\[3mm] \vert\psi_{5\pi/8}\rangle & = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle. \end{aligned}$
この分解が正しいことは、必要な計算を実行することで確認できます。
$\vert\psi_{\pi/8}\rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert - \vert\psi_{5\pi/8}\rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert = \begin{pmatrix} \frac{2 + \sqrt{2}}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \frac{2 - \sqrt{2}}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{4}\\[2mm] -\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \end{pmatrix} = H.$

上記の最初の例が示すように、固有ベクトルの選び方にはある程度の自由度があります。しかし、固有値の選び方には、その並び順を除いて、まったく自由度がありません。つまり、行列 $M$ の選び方が決まれば、同じ複素数（重複を含み得る） $\lambda_1,\ldots,\lambda_N$ が式 $(1)$ に常に現れます。

では、ユニタリー行列に焦点を当てましょう。複素数 $\lambda$ と非ゼロベクトル $\vert\psi\rangle$ が次の式を満たすとします。

U\vert\psi\rangle = \lambda\vert\psi\rangle. \tag{2}

つまり、 $\lambda$ は $U$ の固有値であり、 $\vert\psi\rangle$ はこの固有値に対応する固有ベクトルです。

ユニタリー行列はユークリッドノルムを保存するため、 $(2)$ から次のことがわかります。

\bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\| = \bigl\| U \vert\psi\rangle \bigr\| = \bigl\| \lambda \vert\psi\rangle \bigr\| = \vert \lambda \vert \bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\|

$\vert\psi\rangle$ が非ゼロであるという条件は $\bigl\| \vert\psi\rangle \bigr\|\neq 0$ を意味するので、両辺からこれを打ち消すと次が得られます。

\vert \lambda \vert = 1.

これにより、ユニタリ行列の固有値は絶対値が必ず1でなければならないことがわかります。つまり、固有値は単位円上に存在します。

\mathbb{T} = \{\alpha\in\mathbb{C} : \vert\alpha\vert = 1\}

（記号 $\mathbb{T}$ は複素単位円の一般的な名称です。 $S^1$ という名称もよく使われます。）