Pauli項の切り捨てに異なるLpノルムを使用する

注意: このガイドを読む前に、Truncate Pauli termsガイドをお読みください。そのガイドでは、指定されたTruncationErrorBudgetに基づいてbackpropagateメソッドに組み込まれている、低ウェイトのPauli項の切り捨てについて説明しています。 このガイドでは、backpropagateのキーワード引数p_normについて学びます。この引数を使うと、切り捨てられたPauli項によって生じる誤差の推定に用いるLpノルムを変更できます。

サンプル回路を構築する

このガイドでは、Truncate Pauli termsガイドと同じサンプル回路を使用します。

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "qiskit": "qiskit", "qiskit_addon_obp": "qiskit-addon-obp", "qiskit_addon_utils": "qiskit-addon-utils", "rustworkx": "rustworkx"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import rustworkx.generators
from qiskit.synthesis import LieTrotter
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    PauliOrderStrategy,
    generate_time_evolution_circuit,
    generate_xyz_hamiltonian,
)
from qiskit_addon_utils.slicing import combine_slices, slice_by_gate_types

# Generate a linear chain of 10 qubits
num_qubits = 10
linear_chain = rustworkx.generators.path_graph(num_qubits)

# Use an arbitrary XY model
hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    linear_chain,
    coupling_constants=(0.05, 0.02, 0.0),
    ext_magnetic_field=(0.02, 0.08, 0.0),
    pauli_order_strategy=PauliOrderStrategy.InteractionThenColor,
)
# Evolve for some time
circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian, synthesis=LieTrotter(reps=3), time=2.0
)
# slice the circuit by gate type
slices = slice_by_gate_types(circuit)

# For visualization purposes only, recombine the slices with barriers between them and draw the resulting circuit
combine_slices(slices, include_barriers=True).draw("mpl", fold=50, scale=0.6)

全磁化に対するオブザーバブルを定義します。

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

obs = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1.0) for i in range(num_qubits)], num_qubits=num_qubits
)

参考として、厳密な期待値を計算します。

from qiskit.primitives import StatevectorEstimator

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(circuit, obs)])
res = job.result()
exact_exp = res[0].data.evs
print(exact_exp)

9.318197859862146

L1ノルムを使用する

デフォルトでは、Truncate Pauli termsガイドですでに見たとおり、p_norm=1であり、誤差は次のように推定されます。

$$|\langle\psi|\Delta|\psi\rangle| \leq \sum_{P\in\mathcal{T}} |c_P|$$

ここで、$\psi$は量子状態、$\Delta$は厳密なオブザーバブルと切り捨て後のオブザーバブルとの実際の差(未知)、$\mathcal{T}$は切り捨てられたPauli項の集合、$c_P$はPauli項の係数です。 この不等式は厳密ですが、ほとんどのシナリオでは非常に緩い上界です。 このガイドでは、サンプル回路の6つのスライスを逆伝播し、スライスごとに一定の誤差0.001を用います。この値は、指定されたp_normにおける予算として理解してください。

from qiskit_addon_obp.utils.truncating import setup_budget

l1_truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.001, p_norm=1)
print(l1_truncation_error_budget)

TruncationErrorBudget(per_slice_budget=[0.001], max_error_total=inf, p_norm=1)

from qiskit_addon_obp import backpropagate

max_slices = 6
l1_bp_obs, l1_remaining_slices, l1_metadata = backpropagate(
    obs,
    slices[-max_slices:],
    truncation_error_budget=l1_truncation_error_budget,
)
l1_reduced_circuit = combine_slices(
    slices[:-max_slices] + l1_remaining_slices
)
print(
    f"Backpropagated {max_slices - len(l1_remaining_slices)} circuit slices."
)
print(
    f"New observable contains {len(l1_bp_obs)} terms and {len(l1_bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} commuting groups."
)

Backpropagated 6 circuit slices.
New observable contains 116 terms and 10 commuting groups.

これで、逆伝播されたオブザーバブルの期待値と、厳密な参照値に対する誤差を計算できます。

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(l1_reduced_circuit, l1_bp_obs)])
res = job.result()
l1_exp = res[0].data.evs
l1_error = exact_exp - l1_exp
print(l1_exp, l1_error)

9.317869899338842 0.00032796052330397174

最後に、各スライスの逆伝播中に生じた誤差と、累積誤差をプロットできます。 累積誤差は各スライスの誤差の合計です。累積誤差が実際の誤差に対して非常に緩い上界になっていることがわかります。

from matplotlib import pyplot as plt
from qiskit_addon_obp.utils.visualization import (
    plot_accumulated_error,
    plot_slice_errors,
)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
axes[1].plot([6], [l1_error], "x", color="red", label="actual error")
plot_slice_errors(l1_metadata, axes[0])
plot_accumulated_error(l1_metadata, axes[1])

L2ノルムを使用する

L2ノルムの方が、L1ノルムよりも生じる誤差のよい近似になると考えることができます。 それは、量子状態$|\psi\rangle$がHaarランダムアンサンブルから抽出されると仮定できるためです。この場合、生じる誤差は平均が0に近づく分布に従い、その分散はL2ノルムでおおよそ抑えられます。

$$|\langle\psi|\Delta|\psi\rangle| \lesssim \left( \sum_{P\in\mathcal{T}} |c_P|^2 \right)^{1/2}$$

この上界は厳密ではありませんが、破られるのは病的なケースに限られます。 ここでも、サンプル回路の6つのスライスを逆伝播し、スライスごとの最大誤差を0.001とします(今回はL2ノルムで解釈されます)。

l2_truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.001, p_norm=2)
print(l2_truncation_error_budget)

TruncationErrorBudget(per_slice_budget=[0.001], max_error_total=inf, p_norm=2)

max_slices = 6
l2_bp_obs, l2_remaining_slices, l2_metadata = backpropagate(
    obs,
    slices[-max_slices:],
    truncation_error_budget=l2_truncation_error_budget,
)
l2_reduced_circuit = combine_slices(
    slices[:-max_slices] + l2_remaining_slices
)
print(
    f"Backpropagated {max_slices - len(l2_remaining_slices)} circuit slices."
)
print(
    f"New observable contains {len(l2_bp_obs)} terms and {len(l2_bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} commuting groups."
)

Backpropagated 6 circuit slices.
New observable contains 84 terms and 6 commuting groups.

ここでも、逆伝播されたオブザーバブルの期待値と、厳密な参照値に対する誤差を計算します。

estimator = StatevectorEstimator()
job = estimator.run([(l2_reduced_circuit, l2_bp_obs)])
res = job.result()
l2_exp = res[0].data.evs
l2_error = exact_exp - l2_exp
print(l2_exp, l2_error)

9.317829770853422 0.00036808900872387085

スライスごとに生じた誤差と累積誤差をプロットすると、先ほどと同様の図が得られます。

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))
axes[1].plot([6], [l2_error], "x", color="red", label="actual error")
plot_slice_errors(l2_metadata, axes[0])
plot_accumulated_error(l2_metadata, axes[1])

累積誤差は、ここでも個々のスライスの誤差の合計であることに注意してください。この上界は再帰的に計算する必要があるため、Minkowskiの不等式による別の緩い上界になっています。

$$|\langle\psi|\Delta_{i}|\psi\rangle| \leq |\langle\psi|\tilde{\Delta}_{i-1}|\psi\rangle| + \left( \sum_{P\in\mathcal{T_i}} |c_P|^2 \right)^{1/2} = |\langle\psi|\tilde{\Delta}_{i}|\psi\rangle|$$

ここで、新しい添字$i$は現在のスライスの反復を表し、$\Delta_i$は逆伝播の反復$i$における実際の誤差、$\tilde{\Delta}_{i-1}$は反復$i-1$で近似された切り捨て誤差、$\mathcal{T}_i$は反復$i$で切り捨てられたPauli項の集合です。