127量子ビットのキックト・イジング模型をシミュレーションする

このガイドでは、pauli-propパッケージを使って、ヘビーヘックス格子上の127量子ビット・キックト・イジング模型の時間発展を古典的にシミュレーションし、単一サイトの磁化$\langle Z_{62} \rangle$を近似します。考慮するハミルトニアンは次のとおりです。

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

ここで、$J>0$は最近接スピンの結合を表し、$i<j$であり、$h$は大域的な横磁場です。時間発展演算子の1次トロッター分解は、$20$ステップのトロッターステップにわたる量子回路$U$として実装されます。結合定数$J$は$J=-\frac{\pi}{2}$に固定されるため、$h\mod\frac{\pi}{2}=0$となるときは常に$U$はCliffordになります。

ワークフロー:

• トロッター化したイジング模型を実装する量子回路を作成します

  • $h$をClifford点$0.0$と$\frac{\pi}{2}$の間で変化させます

• 格子の中央のサイト(量子ビット$62$)を選び、各回路について$20$ステップのトロッターステップ後の磁化を推定します

• $h$があるClifford点から別のClifford点へ移動するにつれて、磁化が$1.0$から$0.0$へ減衰していく様子を観察します

回路を作成する

まず、qiskit-ibm-runtimeのFakeSherbrookeを使って、127量子ビットのEagle QPUのカップリングマップのエッジ・インデックスを取得します。エッジ・インデックスが得られたら、シミュレーションしたい$h$の各値に対するトロッター回路を作成します。これらの回路は、20ステップのトロッターステップと5420個のゲートを使って、ハミルトニアンの1次トロッター化を実装します。

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_ibm_runtime.fake_provider import FakeSherbrooke

# Get the edges in the device coupling map
backend = FakeSherbrooke()
edges = backend.coupling_map.get_edges()

# Num Trotter steps
num_steps = 20

# Create Trotter circuits with varying global fields
hs = [i * np.pi / 32 for i in range(17)]
circuits = []
for h in hs:
    circuit = QuantumCircuit(backend.num_qubits)
    for _ in range(num_steps):
        circuit.rx(h, [i for i in range(backend.num_qubits)])
        for edge in edges:
            circuit.rzz(-np.pi / 2, edge[0], edge[1])
    circuits.append(circuit)

Pauli伝播で時間発展をシミュレーションする

次に、測定したいオブザーバブル$O$を指定します。ここでは、$\langle Z_{62} \rangle$を推定します。

Clifford点の間の磁化を調べるために、$O$を回路$U$の先頭まで近似的に伝播させ、新しいオブザーバブル$O^\prime \approx U^{\dagger}OU$を得ます。

伝播中、発展したオブザーバブルの項数はゲート数に対して指数関数的に増加するため、通常はその大きさを制限する必要があります。ここでは、$O^\prime$の項数を$10^5$に制限し、係数が$10^{-5}$より小さい項を切り捨てます。項を切り捨てると、ある程度の誤差が生じます。 $O^\prime$が得られたら、$O^\prime$の対角項(すべての量子ビットでIまたはZのみからなる項)の係数を足し合わせることで、期待値$\langle0|U^{\dagger}OU|0\rangle = \langle0|O^\prime|0\rangle$を簡単に推定できます。

frame='h'を設定して、オブザーバブルをハイゼンベルク描像($U^{\dagger}OU$)で発展させることを指定します。シュレーディンガー発展($UOU^{\dagger}$)にはframe=sを使用します。

import time

from pauli_prop import propagate_through_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, SparsePauliOp

# Z_62 observable
id_pauli = Pauli("I" * backend.num_qubits)
observable = SparsePauliOp(id_pauli.dot(Pauli("Z"), [62]))

# Estimate the single-site magnetization for varying magnetic fields
times = []
approx_evs = []
for circuit in circuits:
    st = time.perf_counter()
    propagated_obs = propagate_through_circuit(
        observable, circuit, 100_000, 1e-5, frame="h"
    )[0]
    times.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(
            propagated_obs.coeffs[~propagated_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum()
        )
    )
print(f"Finished {len(circuits)} simulations in {sum(times):.0f}s")

Finished 17 simulations in 494s

可視化する

最後に、磁化を$h$の関数としてプロットします。$h=0$のとき、回路は計算基底の初期状態に影響を与えず、$\langle0|O|0\rangle = 1.0$であることが分かっています。$h$が$0$から離れるにつれて、次のClifford角$\frac{\pi}{2}$に達するまで磁化は単調に減衰し、磁化は$0$に収束します。

import matplotlib.pyplot as plt

plt.xlabel(r"$R_x$ angle $\theta_h$")
plt.ylabel(r"$\langle Z_{62} \rangle$")
plt.plot(hs, approx_evs, marker="o")

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x123f68b00>]