クイックスタート

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title: クイックスタート description: pauli-prop Qiskitアドオン・パッケージのクイックスタート・ガイド

このガイドでは、pauli-propパッケージを使って、1次元スピン鎖上の10量子ビット・キックト・イジング模型の時間発展を古典的にシミュレーションします。

Pauli伝播の入力を準備する

考慮するハミルトニアンは次のとおりです。

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

ここで、$J>0$は最近接スピンの結合を表し、$i<j$であり、$h$は大域的な横磁場です。時間発展演算子の1次トロッター分解は、$20$ステップのトロッターステップにわたる量子回路$U$として実装されます。結合定数$J$は$J=-\frac{\pi}{2}$に、$h$は$\frac{\pi}{6}$に固定されます。$ZZ$相互作用は、Cliffordゲート($CX$、$Sdg$、$\sqrt{Y}$)を使って実装されます。

トロッター化した時間発展を量子回路として実装し、x軸まわりの非Clifford回転には$\frac{\pi}{6}$を使用します。これらの角度がClifford角(たとえば$\theta=n\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$)から離れるほど、Pauli伝播法でシミュレーションすることが難しくなります。

オブザーバブルとしては、平均的な単一サイトの磁化$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \langle z_i \rangle$を考えます。ここで$N$はスピンの数です。

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_aer": "qiskit-aer"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import CouplingMap

num_qubits = 10
coupling_map = CouplingMap.from_line(num_qubits, bidirectional=False)

# Num Trotter steps
num_steps = 20
theta_rx = np.pi / 6

# Average single-site magnetization
observable = (
    SparsePauliOp(
        [
            "I" * iq + "Z" + "I" * (num_qubits - iq - 1)
            for iq in range(num_qubits)
        ]
    )
    / num_qubits
)

# Create the Trotter circuit
num_qubits = 10
num_steps = 20
theta_rx = np.pi / 6
circuit = QuantumCircuit(num_qubits)
edges = CouplingMap.from_line(num_qubits, bidirectional=False).get_edges()
for _ in range(num_steps):
    circuit.rx(theta_rx, [i for i in range(num_qubits)])
    for edge in edges:
        circuit.sdg(edge)
        circuit.ry(np.pi / 2, edge[1])
        circuit.cx(edge[0], edge[1])
        circuit.ry(-np.pi / 2, edge[1])
circuit.draw("mpl", fold=-1)

Pauli伝播でシステムの時間発展をシミュレーションする

回路$U$とオブザーバブル$O$が用意できれば、次の数ステップで簡単にシステムをシミュレーションできます。

• evolve_through_cliffordsを使って、$U$をClifford部分$C$と非Clifford部分$P$に分離し、$U=PC$とします

• pauli_prop.propagate_through_circuitを使って、$O$を$P$に通して伝播させ、新しい演算子$O^\prime$を得ます

• Qiskitに組み込まれたClifford発展のサポートを使って、$O^\prime$を回路のClifford部分に通して発展させます

• 完全に対角なPauli項(すべての量子ビットでIまたはZのみを含むPauli項)に対応する$O^\prime$の係数を足し合わせることで、期待値を$\langle0|O^\prime|0\rangle \approx \langle0|U^\dagger OU|0\rangle$と近似します。$O^\prime$を回路の非Clifford部分に通して伝播させる際に項を切り捨てたため、これは近似であることに注意してください。

import time

from pauli_prop import evolve_through_cliffords, propagate_through_circuit

cliff, non_cliff = evolve_through_cliffords(circuit)

max_terms_list = [10**i for i in range(8)]
approx_evs = []
durations = []
for max_terms in max_terms_list:
    st = time.perf_counter()
    evolved_obs = propagate_through_circuit(
        observable, non_cliff, max_terms=max_terms, atol=1e-12, frame="h"
    )[0]
    evolved_obs.paulis = evolved_obs.paulis.evolve(cliff, frame="h")
    durations.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(evolved_obs.coeffs[~evolved_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum())
    )

より大規模な計算を実行するほど、期待値の近似はより正確になります。この例では、約$4^{10}\approx10^6$で完全なPauli空間が飽和し、最後の2点の間で曲線が平らになることに反映されています。

下のプロットは単調な収束を示していますが、Pauli伝播シミュレーションは一般に単調には収束しません。この種のプロットで「凸凹した」挙動が見られることは珍しくありません。

import matplotlib.pyplot as plt
from qiskit_aer import AerSimulator

sim_circ = circuit.copy()
sim_circ.save_statevector()
backend = AerSimulator(method="statevector")
psi = backend.run(sim_circ).result().data()["statevector"]
exact_ev = psi.expectation_value(observable)

ax1 = plt.gca()
ax1.plot(max_terms_list, approx_evs, marker="o", label="Approximate")
ax1.axhline(exact_ev, linestyle="--", color="green", label="Exact")
ax1.set_xscale("log")
ax1.set_xlabel("# terms kept")
ax1.set_ylabel(r"$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \langle z_i \rangle$")

ax2 = ax1.twinx()
ax2.plot(
    max_terms_list, durations, marker=".", label="Runtime", color="orange"
)
ax2.set_ylabel("Runtime (s)", color="orange")
ax2.set_yscale("log")

handles1, labels1 = ax1.get_legend_handles_labels()
handles2, labels2 = ax2.get_legend_handles_labels()
ax1.legend(handles1 + handles2, labels1 + labels2, loc="lower right")

plt.title(f"Simulating {num_steps}-step 1D Ising Model")

Text(0.5, 1.0, 'Simulating 20-step 1D Ising Model')