数学的定式化

クリフォードゲート集合に対するパウリノイズを学習するというタスクでは、個々のパウリ演算子がゲートの適用列を通じてどのように変換されるかを追跡する解析手法が一般的です(ゲートがクリフォードでノイズがパウリチャネルであるという仮定の下では、1 つのパウリ演算子は常に、ノイズの関数であるスカラー倍を除いて別のパウリ演算子に写されます)。当然ながら、そのような列の下での任意の状態の発展は、こうした軌跡の線形結合で表現できます。しかし、状態を常にパウリ固有状態として準備し、結果を常に測定・後処理してパウリ演算子の期待値を計算するという仮定の下では、期待値とノイズモデルのパラメーターの関係は常にそのような単一の軌跡だけに依存します。これは、初期状態がパウリ演算子の線形結合であること、各ゲートとノイズモデルがパウリ演算子をパウリ演算子に写してその直交性を保つこと、そして最終的な期待値が測定前の最終的な分解の中からパウリ演算子を 1 つだけ「選択」することという単純な事実から導かれます。

この種の推論は、パウリ・ゲートセット学習の文献 [1, 2]、ACES の文献 [3]、サイクル・ベンチマーキングの文献 [4] など、ノイズ学習における多くの並行する研究の流れに見られます。この推論は [5] でさらに一般化され、クリフォード-MCM ゲート(クリフォードゲートの後に射影的な回路途中測定が続くもの)が含まれるようになりました。このパッケージは、[1, 5] に最も近い形で実装されています。明示的には名付けられていませんが、学習回路を通じてパウリ演算子がどのように発展するかを記述するためにパターン転送グラフ(PTG)の形式を採用しており、グラフを通るパスを直接的なデータ表現として提供します。

以下は、文献に見られるいくつかの中核的な数学的概念の復習です。主に表記を整理し、パッケージの残りの部分に対する概念的なドキュメント・リファレンスとして役立てることを目的としています。

1. 背景

1.1 表記

$K \in \mathbb{N}$ に対して、 $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$ とします。量子ビット・インデックスの有限集合 $S \subset \mathbb{N}$ に対して、 $\mathcal{P}^S$ をそれらの量子ビットに作用する位相なしパウリ演算子の集合とします。 $\mathcal{P}^S$ の要素は $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$ への写像と考えるため、任意の $P \in \mathcal{P}^S$ と $T \subseteq S$ に対して、 $P|_T$ は $P$ を量子ビット部分集合 $T$ に制限したものを表します。これに沿って、互いに素な集合 $S, T$ と、 $P \in \mathcal{P}^S$ 、 $Q \in \mathcal{P}^T$ に対して、 $P \otimes Q$ は、 $P \otimes Q |_S = P$ かつ $P \otimes Q |_T = Q$ を満たす $\mathcal{P}^{S \cup T}$ の要素を表します。この表記は、部分系の順序を明示的に扱うことを避け、制限を簡単に記述するのに役立ちます。

有限部分集合 $M \subset \mathbb{N}$ に対して、 $M$ で添字付けられた要素を持つビット列の集合を $\mathbb{Z}_2^M$ と表します。上記と同様に、要素を $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$ への写像と考えることで、添字集合の制限を用いて部分列を簡単に記述できます。

1.2 量子インストゥルメント

古典ビット $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (たとえば測定結果)を生成する量子操作は、一般に次の形の線形写像としてモデル化されます。

\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,

ここで、集合 $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ は完全正写像であり、 $\sum_m \mathcal{E}_m$ はトレース保存です。これらの性質を満たす完全正写像の集合 $\{\mathcal{E}_m\}$ は量子インストゥルメントと呼ばれます。ユニタリゲートは、ユニタリ操作である要素を 1 つだけ持つインストゥルメントの特殊な場合です。

2. ノイズを含むクリフォード-MCM-リセットゲート

このパッケージで用いる形式では、特性評価の対象となるゲートセット内のすべてのゲートが、 $K$ 個の量子ビットに対する次の一連の操作で構成されると仮定します。

すべての量子ビットに対するクリフォード操作。
一部の量子ビットの部分集合 $M \subseteq [K]$ に対する、 $Z$ 方向の回路途中射影測定。
一部の量子ビットの部分集合 $R \subseteq [K]$ に対する、 $Z$ 基底状態への回路途中リセット。

これは、ユニタリなクリフォードゲート、測定、状態準備、およびそれらの任意の組み合わせを含む、一般的な操作のクラスです。測定とリセットは、各量子ビットについて常に $Z$ 軸方向であると仮定している点に注意してください。これは厳密には必須ではありませんが、多くの量子コンピューティング方式に共通する特徴であり、表現と解析を簡略化できます。

リセットなしの場合について [5, 6] で概説されているように、そのようなゲートのノイズを含む実装に特定のツワーリング戦略を適用すると、得られる操作の作用は一様パウリ・インストゥルメントとして数学的にモデル化できます。つまり、量子インストゥルメントの表記では $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ であり、 $G$ はクリフォード・ユニタリで、次が成り立ちます。

\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,

ここで各 $\Lambda_{a,b}$ は、非測定量子ビット $N = [K] \setminus M$ 上の部分正規化されたパウリチャネルです。これが量子インストゥルメントであることから、 $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ もトレース保存であることが含意されます。補足事項は次のとおりです。

ツワーリング前の初期ノイズは、「量子的」エラーと「古典的」エラーの両方を含むようにモデル化されます。つまり、量子レジスターに対する誤った操作と、測定値の報告における誤りです。
ノイズ写像 $\Lambda_{a,b}$ は、測定結果 $m$ に依存しません。

言い換えると、上の和の 1 つの項は、測定された状態が $| m + b \rangle$ であったとき(b \neq 0 の場合は誤分類)に測定結果 $m$ が観測され、かつ測定レジスターの出力状態が $| m + a \rangle$ であること( $a \neq 0$ の場合は「誤った」状態)を表します。写像 $\Lambda_{a,b}$ は、(測定の挙動を条件とした)非測定量子ビットへの作用と、特定の測定挙動の確率(正規化を通じて)を同時にエンコードします。

ここではツワーリング戦略の詳細には立ち入りません。チャネルを上記の形にするそのような戦略が存在すれば十分です。なお、パウリチャネルの形をさらに制限できる「より細かい」ツワーリング戦略も存在します [7]。ただし、ここでは上記の形を、検討対象とする最も一般的な数学的表現として採用します。

[5] の補題 1 では、 $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ を次のように書き直せることが示されています。

\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.

ある実数 $\lambda_{x,y}^Q$ に対して成り立ち、これらはインストゥルメントの忠実度と呼ばれます。

この枠組みにリセットを加えるのは比較的簡単です。量子ビット $R \subset [K]$ に対するノイズを含むリセット操作は、次の分解に従ってモデル化できます。

\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.

上の形は、リセットが各量子ビットについて $Z$ 軸方向であるという仮定を明示的に利用しています。操作に含まれるノイズは、量子ビット部分集合で添字付けられるだけのリセット忠実度 $\lambda_r$ にエンコードされます。

末尾にリセット操作を含む式 (1) の類似物は、それを式 (2) と合成するだけで得られます。この合成を、いくらか簡略化すると、次のようになります。

\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}

この分解は、忠実度 $\lambda^Q_{x, y}$ の数が次のとおりであることを示しています。

4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.

極限の場合を考えてみましょう。(1) 測定もリセットもない場合は $M = R = \emptyset$ で、この式は $K$ 量子ビット上の位相なしパウリ演算子の数である $4^K$ を与えます。(2) $M = \emptyset$ かつ $R=[K]$ の場合は、 $[K]$ の部分集合の数である $2^K$ になります。最後に、(3) $M = [K]$ かつ $R = \emptyset$ の場合は $4^K$ になります。これは最初は意外に思えるかもしれません。標準的な学習では、測定とリセットは通常、同じ数の忠実度 $2^K$ を持つと考えられているためです。しかし、ここでは全量子ビット測定ゲートは終端測定ではなく MCM として理解されており、そのため測定の恒等でない出力に対応する忠実度(式 (3) の $y \neq 0$ など)も含まれます。

最後に、リセットなしの場合に式 (1) の形を与えるツワーリング戦略は、簡単な修正を加えれば、自明でないリセットの場合にも同様に適用できることに注意が必要です。潜在的な問題は、そのようなツワーリング戦略では、測定された量子ビットに対して測定の後に操作が必要になる場合があることです。そのため、量子ビットが測定されかつリセットされる場合、この戦略を実装するには、測定とリセットの間のゲート内部に操作を挿入する必要があるように見えます。しかし、リセットの性質上、そのような操作は何の影響も及ぼさず、同じ望ましい構造を得ながら単に省略できます。

3. パス形式

冒頭で述べたように、クリフォードゲートに対するパウリ型ノイズの学習アルゴリズムはすべて、個々のパウリ演算子が回路を通じてどのように発展し、その過程でノイズ忠実度の係数を獲得するかを追跡することに基づいています。したがって、そのようなゲートで構成された回路の期待値は、個々のゲートの基礎となる忠実度の積に単純に関連しており、このようにして、仮定されているどのようなスパースなパラメーターから忠実度への写像であっても、それを反転させることでモデルパラメーターを推定できます。

[1] では、ユニタリなゲートセットの文脈で、これがパターン転送グラフ(PTG)として形式化されています。PTG は、ゲートセットの要素と単一量子ビット・クリフォードゲートの層(完全、つまり「無償」の操作と仮定)から成るすべての可能な実験を記述する有向グラフです。これは [5] で、回路途中測定を含むゲートセットに一般化されました。どちらの場合も、各測定サイトで特定のオブザーバブルが計算されるという仮定の下で、回路を通る単一のパウリ演算子を追跡することで各実験が記述されます。ここではグラフやパスの構成を直接は復習しませんが、それらを正当化するために必要な事実を、独自の表記で、リセットを含めて示します。

回路を通る単一のパウリ演算子の追跡は、ユニタリなゲートセットの場合には直感的かもしれませんが、測定の非決定的な性質のため、より一般的なクリフォード-MCM-リセットの場合には、それほど明白には成り立ちません。次の命題は、より一般的な場合にもこの描像を回復するものです [5]。

命題 1

任意の $x \in \mathbb{Z}_2^M$ 、 $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ 、 $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ に対して、次が成り立ちます。

\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |

言い換えると、MCM が出力する古典レジスター上で期待値 $Z^{x + y|_M}$ を計算すると、クリフォード-MCM-リセットゲートを通じたオブザーバブルの「ハイゼンベルク描像」の発展は、 $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$ と写します。この事実だけで、ユニタリなゲートセットの場合を超えて PTG に似た解析を回復できます。測定結果に特定の後処理を施せば、測定やリセットを含むゲートでさえ、あるパウリ演算子を別のパウリ演算子に決定論的に写すものとして捉えられます。

これを証明する前に、式 (3) をより示唆的な形で書きます。 $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ に対して $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$ が成り立つことに注意すると、(超演算子の表記で)次のようになります。

\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}

ここでは式 (3) を適用して項をまとめ、添字 $M$ を使って古典的な測定結果レジスターを示しています。このレジスターは上で、量子レジスターと同様の表記で扱っています。

証明。次が成り立ちます。

\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}

最後に、 $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$ であることに注目すると、上の最後の項は単一の項 $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$ にまとまり、求める結果が得られます。

これ以降の展開、すなわち PTG の定義、PTG を通るパス、および適切に定義されたパスが実験に対応することの証明については、[5] を参照してください。

参考文献

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.

1. 背景​

1.1 表記​

1.2 量子インストゥルメント​

2. ノイズを含むクリフォード-MCM-リセットゲート​

3. パス形式​

参考文献​